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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
(a) Soit g une fonction continue sur [−1, 2]. D´ eterminer le polynˆ ome
p(x) =
2
i=−1 g(i) i (x) de degr´ e ≤ 3 qui interpole g aux points −1, 0, 1, 2.
Exprimer l’erreur d’interpolation `
a l’aide du polynˆ ome
π(x) = x(x + 1)(x − 1)(x − 2).
(b) Calculer
1
0
p(x)dx et
0
−1
p(x)dx en fonction des valeurs g(i), −1 ≤ i ≤ 2.
En d´ eduire
2
1
p(x)dx.
V´ erifier les formules pour g(x) = 1 (resp. g(x) = x).
(c) Calculer
1
0
|π(x)|dx et
0
−1
|π(x)|dx.
En d´ eduire une majoration (la meilleure possible !) de
i+1
i
|g(x) − p(x)|dx,
i = −1, 0, 1, en fonction de la norme uniforme d’une d´ eriv´ ee convenable de g (g
est suppos´ ee suffisamment d´ erivable).
(d) Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b] avec a < b. On note
a = a 0 < a 1 < . . . < a n−1 < a n = b, n ≥ 8
la subdivision de pas constant h =
b−a
n et on pose f i = f (a i ).
On ´ etudie la m´ ethode d’int´ egration num´ erique
b
a
f (x)dx =
n−1
i=0
ai+1
ai
f (x)dx
n−1
i=0
ai
ai+1
p i (x)dx
o` u p i d´ esigne le polynˆ ome d’interpolation de Lagrange de f aux points a i−1 , a i ,
a i+1 , a i+2 si 1 ≤ i ≤ n − 2, avec la convention d’´ ecriture p 0 = p 1 , p n−1 = p n−2 .
Montrer que cette m´ ethode s’´ ecrit
b
a
f (x)dx h
n
i=0
λ i f i
pour des coefficients λ i que l’on explicitera. Que peut-on dire de l’ordre de la
m´ ethode ?
(e) Majorer les erreurs
ai+1
ai
|f (x) − p i (x)|dx et
E(f ) =
b
a
f (x)dx − h
n
i=0
λ i f i
en fonction de h, b − a, et de la norme uniforme d’une d´ eriv´ ee convenable de f .
6.9. On d´ esigne par C l’espace des fonctions d´ efinies sur l’intervalle [−1, 1] `
a valeurs
dans R, muni de la norme uniforme.