III – Int´ egration num´ erique
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On utilise la formule du d´ eveloppement asymptotique de S n (f ) avec α = 1.
(a) Exprimer ζ(β) en fonction de la constante C de la formule ; pour cela, on fera
tendre n vers +∞.
(b) D´ eterminer le d´ eveloppement limit´ e de ζ(β)−S n (f ) avec reste R n,k . En prenant
n = 5 et k = 5, donner un encadrement de ζ(3).
6.6. On applique ici la formule d’Euler-Maclaurin `
a la fonction f (x) = e
ax , a ∈ C.
(a) Montrer l’´ egalit´ e
a
2
e
a + 1
e a − 1
= 1 +
k
m=1
b 2m a
2m
(2m)!
−
a
2k+1
e a − 1
1
0
B 2k (x)
(2k)!
e
ax dx
(b) Montrer que le reste int´ egral est major´ e pour tout a ∈ C par
|b 2k |
(2k)!
e
| Re a|
− 1
| Re a|
|a|
|e a − 1|
|a|
2k
si e
a
= 1.
En d´ eduire que
a
2
e
a +1
e a −1 = 1 +
+∞
m=1
b2ma
2m
(2m)! sur le disque |a| < 2π, et que le
rayon de convergence de la s´ erie est 2π.
(c) Lorsque a est r´ eel, montrer que le reste int´ egral est major´ e par |b 2k |a
2k /(2k)!,
ainsi que par 2|b 2k+2 |a
2k+2 /(2k + 2)!.
Utiliser ceci pour trouver une valeur approch´ ee de (e + 1)/(e − 1) en prenant
k = 4. V´ erifier que l’erreur commise est inf´ erieure ` a 10
−7 .
6.7. On consid` ere la fonction
f (x) =
1
1 + x 2 , x ∈ R.
(a) A l’aide d’une d´ ecomposition en ´ el´ ements simples, calculer la d´ eriv´ ee f
(m) et
montrer que |f
(m) (x)| ≤ m! (1 + x
2 )
−(m+1)/2 .
(b) D´ eterminer le d´ eveloppement asymptotique de la suite
S n =
n
k=0
1
1 + k 2 .
(c) Calculer S 10 et en d´ eduire une valeur approch´ ee ` a 10
−6 pr` es de la somme
+∞
n=0
1
1 + n 2 .
6.8. On se propose ici d’´ etudier une m´ ethode d’int´ egration num´ erique analogue
aux m´ ethodes de Newton-Cotes.