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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
(a) Calculer l’erreur
E(f ) =
1
−1
f (x) − (f (ω) + f (−ω))
pour f (x) = 1, x, x
2 respectivement. D´ eterminer l’ordre de la m´ ethode (M) en
fonction de ω.
(b) On se place ici dans le cas o` u la m´ ethode (M) est d’ordre 1.
(α) Calculer le noyau de Peano K 1 (t), et tracer le graphe de K 1 pour ω = 5/8.
Pour quelles valeurs de ω le noyau K 1 est-il de signe constant ?
(β) Montrer que l’erreur v´ erifie une majoration
|E(f )| ≤ C(ω)f
∞
o` u C(ω) est une constante dont on d´ eterminera la valeur optimale :
• lorsque K 1 est de signe constant ;
• lorsque ω = 5/8.
(c) Calculer le noyau de Peano dans le cas o` u la m´ ethode (M) est d’ordre 3 et
v´ erifier que ce noyau est une fonction paire. En d´ eduire qu’il existe ξ ∈ ] − 1, 1[
tel que
E(f ) =
1
135
f
(4) (ξ).
(d) En utilisant le r´ esultat du (c), estimer l’erreur obtenue par la m´ ethode compos´ ee
associ´ ee ` a la m´ ethode (M) pour le calcul d’une int´ egrale
b
a
g(x)dx
avec une subdivision de [a, b] de pas constant h = (b − a)/k, k ∈ N
.
6.4. Soit p un entier naturel et soit f (x) = x
p . On note
S n,p =
n
m=1
m
p .
On utilise la formule du d´ eveloppement asymptotique de S n (f ) avec α = 0.
(a) Montrer que pour k assez grand, le reste R n,k est nul. En d´ eduire une expression
de S n,p ; on calculera la valeur de la constante C en observant que S 0,p = 0.
(b) Donner une expression factoris´ ee de S n,p pour p = 2, 3, 4, 5.
6.5. Soit β un r´ eel > 1. On consid` ere la fonction
f (x) =
1
x β et on note
ζ(β) =
+∞
n=1
1
n β .