III – Int´ egration num´ erique
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º ÈÖÓÓÐ ÑÑ×
6.1. Soient x 1 et x 2 deux points de [−1, 1] et λ 1 et λ 2 ∈ R. On d´ esigne par C[−1, 1]
l’espace vectoriel des fonctions continues sur [−1, 1] et ` a valeurs r´ eelles et on d´ efinit
T : C[−1, 1] → R par T (f ) = λ 1 f (x 1 ) + λ 2 f (x 2 ).
(a) Quelles conditions doivent v´ erifier x 1 , x 2 , λ 1 , λ 2 pour que T soit une m´ ethode
d’int´ egration sur [−1, 1] exacte pour
(α) Les fonctions constantes ?
(β) Les fonctions affines ?
(γ) Les polynˆ omes de degr´ e inf´ erieur ou ´ egal ` a 2 ?
(b) Parmi les m´ ethodes exactes pour les polynˆ omes de degr´ e inf´ erieur ou ´ egal ` a 2,
une seule v´ erifie x 1 = −x 2 . Montrer que ce choix de x 1 et x 2 (et des λ 1
et λ 2 correspondants) fournit une m´ ethode exacte pour les polynˆ omes de degr´ e
inf´ erieur ou ´ egal ` a 3 et qu’il s’agit de la seule m´ ethode d’int´ egration exacte pour
les polynˆ omes de degr´ e inf´ erieur ou ´ egal ` a 3 qui soit du type ´ etudi´ e dans le
probl` eme. Quelle est cette m´ ethode ?
6.2.
(a) Montrer que pour un polynˆ ome trigonom´ etrique de degr´ e n
n
p=−n
c p e
ipx ,
la m´ ethode des trap` ezes de pas constant h =
2π
n+1 est exacte sur l’intervalle
[0, 2π].
(b) Montrer que si f peut ˆ etre approch´ ee par un polynˆ ome trigonom´ etrique de degr´ e
n ` a moins de ε sur [a, b], la m´ ethode des trap` ezes pour h =
2π
n+1 fournit un erreur
inf´ erieure ` a 4πε pour
2π
0
f (x)dx.
(c) On consid` ere f (x) = exp
1
2 sin x
. Donner une majoration de l’erreur pour la
m´ ethode des trap` ezes pour
2π
0
f (x) dx avec h = π/2, h = π/4. Que pensez-vous
de ce dernier r´ esultat ?
6.3. Soit f : [−1, 1] → R une fonction de classe C
n , o` u n sera suppos´ e aussi
grand que les besoins l’exigeront. On consid` ere la m´ ethode d’int´ egration num´ erique
approch´ ee donn´ ee par
(M)
1
−1
f (x)dx f (ω) + f (−ω) avec ω ∈ [0, 1].
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6.1. Soient x 1 et x 2 deux points de [−1, 1] et λ 1 et λ 2 ∈ R. On d´ esigne par C[−1, 1]
l’espace vectoriel des fonctions continues sur [−1, 1] et ` a valeurs r´ eelles et on d´ efinit
T : C[−1, 1] → R par T (f ) = λ 1 f (x 1 ) + λ 2 f (x 2 ).
(a) Quelles conditions doivent v´ erifier x 1 , x 2 , λ 1 , λ 2 pour que T soit une m´ ethode
d’int´ egration sur [−1, 1] exacte pour
(α) Les fonctions constantes ?
(β) Les fonctions affines ?
(γ) Les polynˆ omes de degr´ e inf´ erieur ou ´ egal ` a 2 ?
(b) Parmi les m´ ethodes exactes pour les polynˆ omes de degr´ e inf´ erieur ou ´ egal ` a 2,
une seule v´ erifie x 1 = −x 2 . Montrer que ce choix de x 1 et x 2 (et des λ 1
et λ 2 correspondants) fournit une m´ ethode exacte pour les polynˆ omes de degr´ e
inf´ erieur ou ´ egal ` a 3 et qu’il s’agit de la seule m´ ethode d’int´ egration exacte pour
les polynˆ omes de degr´ e inf´ erieur ou ´ egal ` a 3 qui soit du type ´ etudi´ e dans le
probl` eme. Quelle est cette m´ ethode ?
6.2.
(a) Montrer que pour un polynˆ ome trigonom´ etrique de degr´ e n
n
p=−n
c p e
ipx ,
la m´ ethode des trap` ezes de pas constant h =
2π
n+1 est exacte sur l’intervalle
[0, 2π].
(b) Montrer que si f peut ˆ etre approch´ ee par un polynˆ ome trigonom´ etrique de degr´ e
n ` a moins de ε sur [a, b], la m´ ethode des trap` ezes pour h =
2π
n+1 fournit un erreur
inf´ erieure ` a 4πε pour
2π
0
f (x)dx.
(c) On consid` ere f (x) = exp
1
2 sin x
. Donner une majoration de l’erreur pour la
m´ ethode des trap` ezes pour
2π
0
f (x) dx avec h = π/2, h = π/4. Que pensez-vous
de ce dernier r´ esultat ?
6.3. Soit f : [−1, 1] → R une fonction de classe C
n , o` u n sera suppos´ e aussi
grand que les besoins l’exigeront. On consid` ere la m´ ethode d’int´ egration num´ erique
approch´ ee donn´ ee par
(M)
1
−1
f (x)dx f (ω) + f (−ω) avec ω ∈ [0, 1].