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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
et il s’agit de calculer le coefficient
a 0 =
β
α
f (x)dx.
On utilise pour cela des dichotomies successives avec les pas h =
β−α
2 m . Ceci nous
am` ene ` a calculer
A m,0 = T f
β − α
2 m
= A(4
−m (β − α)
2
.
On applique donc le proc´ ed´ e d’extrapolation de Richardson avec r = 4, ce qui
conduit `
a la formule de r´ ecurrence
A m,n =
4
n A m,n−1 − A m−1,n−1
4 n − 1
.
On a alors A m,n =
β
α
f (x)dx + O(4
−m(n+1) ) quand m → +∞. La valeur approch´ ee
retenue est celle correspondant aux indices m, n les plus ´ elev´ es pour lesquels A m,n
a ´ et´ e calcul´ e.
Remarque 1 – On peut gagner du temps dans le calcul de A m,0 en utilisant
A m−1,0 pour ´ evaluer A m,0 . Si h =
β−α
2 m , on a en effet :
A m,0 = h
1
2
f (α) + f (α + h) + . . . + f (β − h) +
1
2
f (β)
A m−1,0 = 2h
1
2
f (α) + f (α + 2h) + . . . + f (β − 2h) +
1
2
f (β)
Il suffit de poser
A
m,0 = h
f (α + h) + f (α + 3h) + . . . + f (β − h)
et alors on obtient
A m,0 =
1
2
A m−1,0 + A
m,0 .
Remarque 2 – Si f ∈ C
∞ (R) est p´ eriodique de p´ eriode β − α, alors f
(m) (β) =
f
(m) (α) pour tout m et on a donc un d´ eveloppement limit´ e ` a tout ordre
T f (h) =
β
α
f (x)dx + O(h
2k )
r´ eduit `
a son terme constant. Il est inutile dans ce cas d’appliquer le proc´ ed´ e
d’extrapolation de Richardson : la derni` ere somme des trap` ezes calcul´ ee A m,0 donne
d´ ej` a une tr` es bonne approximation de l’int´ egrale.
Exercice – V´ erifier que A m,1 (resp. A m,2 ) est la m´ ethode de Simpson compos´ ee
sur 2
m−1 sous-intervalles (resp. Boole-Villarceau sur 2
m−2 sous-intervalles).
Pour n ≥ 3, on peut v´ erifier que A m,n ne correspond plus `
a une m´ ethode de NewtonCotes.