III – Int´ egration num´ erique
85
TAB[0]
A 0,0  
A 1,1  
A 2,2  
A 3,3
TAB[1]
A 1,0  
A 2,1  
A 3,2
. . .
TAB[2]
A 2,0  
A 3,1
. . .
. . .
TAB[3]
A 3,0
. . .
. . .
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. . .
Chaque colonne est une suite convergeant vers a 0 , mais la colonne d’indice n converge n + 1 fois plus vite `
a l’infini que celle d’indice 0.
º¾º Å ØØÓÓÓ ÊÓÑÑÑÖ
Soit f ∈ C
∞ ([α, β]). On consid` ere la subdivision de [α, β] en l sous-intervalle ´ egaux
donn´ ee par les points x j = α + jh, 0 ≤ j ≤ l o` u h =
β−α
l , et on note
T f (h) = h
1
2
f (α) + f (α + h) + . . . + f (β − h) +
1
2
f (β)
la somme des trap` ezes associ´ ees. Appliquons la formule d’Euler-Maclaurin `
a la
fonction
g(u) = f (α + uh), u ∈ [0, l],
g
(m) (u) = h
m f
(m) (α + uh).
Il vient
T g (1) =
l
0
f (α + uh)du +
k
m=1
b 2m
2m!
h
2m−1
f
(2m−1) (β) − f
(2m−1) (α)
− h
2k
l
0
B 2k (u)
2k!
f
(2k) (α + uh)du
d’o` u
T f (h) = hT g (1) =
β
α
f (x)dx +
k
m=1
b 2m
(2m)!
h
2m
f
(2m−1) (β) − f
(2m−1) (α)
− h
2k
β
α
B 2k ((x − α)/h)
2k!
f
(2k) (x)dx.
On en d´ eduit que T f (h) admet le d´ eveloppement limit´ e
T f (h) =
β
α
f (x)dx +
k−1
m=1
a m h
2m + O(h
2k )
avec a m =
b2m
(2m)!
f
(2m−1) (β) − f
(2m−1) (α)
.
On peut donc ´ ecrire T f (h) = A(h
2 ) o` u
A(t) = T f (
√
t) = a 0 + a 1 t + . . . + a k−1 t
k−1 + O(t
k ),