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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
avec |R k+1 | ≤ C k+1 |t|
k+1 .
La situation est la suivante : on suppose qu’on a un algorithme permettant de
calculer A(t m ) pour certains r´ eels t m → 0 + , et on cherche ` a extrapoler ces valeurs
pour obtenir A(0) = a 0 . On construit pour cela un proc´ ed´ e d’acc´ el´ eration de
la convergence consistant `
a ´ eliminer successivement les termes a 1 t, a 2 t
2 , . . . du
d´ eveloppement limit´ e de A(t).
Principe de la m´ ethode – Soit r > 1 un r´ eel fix´ e. On a
A(rt) = a 0 + . . . + a n r
n t
n + . . . + a k r
k t
k + O(t
k+1 ).
Pour ´ eliminer le terme en t
n , il suffit de former le quotient
r
n A(t) − A(rt)
r n − 1
= a 0 + b 1 t + . . . + b n−1 t
n−1 + 0 + b n+1 t
n−1 + . . .
Si on calcule successivement les quantit´ es
A 0 (t) = A(t)
A 1 (t) =
rA 0 (t) − A 0 (rt)
r − 1
, . . . ,
A n (t) =
r
n A n−1 (t) − A n−1 (rt)
r n − 1
,
alors on ´ elimine successivement t, t
2 , . . . , t
n . De mani` ere g´ en´ erale on aura
A n (t) = a 0 + b n,n+1 t
n+1 + . . . + b n,k t
k + O(t
k+1 )
donc A n (t) = A 0 + O(t
n+1 ) est une meilleure approximation de a 0 que la fonction
A(t) initiale. Supposons en particulier qu’on sache calculer les quantit´ es
A m,0 = A(r
−m t 0 )
o` u t 0 > 0 est fix´ e (de sorte que lim m→+∞ A m,0 = a 0 ). On a seulement a priori
A(t) = a 0 + O(t), donc
A m,0 = a 0 + O(r
−m ).
Si on pose A m,n = A n (r
−m t 0 ), il vient
A m,n = a 0 + O(r
−m(n+1) ) quand m → +∞,
de sorte que la convergence est sensiblement (n + 1)-fois rapide que celle de A m,0 .
Les nombres A m,n se calculent par la formule de r´ ecurrence
A m,n =
r
n A m,n−1 − A m−1,n−1
r n − 1
.
Dans la pratique, on commence par ranger les valeurs A m,0 dans un tableau
TAB, puis on effectue le calcul des colonnes A m,1 , A m,2 , . . . comme suit :