III – Int´ egration num´ erique
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ce qui implique θ ∈ [0, 1].
Exemple – Formule de Stirling avec reste.
On applique la formule `
a f (x) = ln x sur [1, +∞[ :
S n (f ) = ln 1 + . . . + ln (n) = ln (n!),
n
1
ln xdx = n(ln (n) − 1) + 1,
f
(m) (x) =
(−1)
m−1 (m − 1)!
x m
, d’o` u
ln (n!) = C
+
1
2
ln (n) + n(ln (n) − 1) +
k−1
m=1
b 2m
2m(2m − 1)
1
n 2m−1 + R n,k
n! = e
C
√
n
n
e
n
exp
k−1
m=1
b 2m
2m(2m − 1)
1
n 2m−1 + R n,k
On peut v´ erifier que e
C
=
√
2π (exercice ci-dessous), d’o` u en particulier
n! =
√
2πn
n
e
n
exp
1
12n
−
1
360n 3 +
1
1260n 5 −
θ
1680n 7
.
Exercice – On pose I n =
π/2
0
sin
n x dx, n ∈ N.
(a) Montrer que I n =
n−1
n I n−2 si n ≥ 2.
Calculer I 0 , I 1 puis I 2n , I 2n+1 et I 2n · I 2n+1 .
(b) Montrer que I n est d´ ecroissante et que I 2n+1 ∼ I 2n .
(c) En d´ eduire
(2n)!
n! 2 ∼
2
2n
√
πn
et la valeur de e
C
.
º Å ØØÓÓÓ ³³ÒØ ÖÖØØÓÒ ÊÓÑÑÑÖ
On va montrer ici comment ` a partir de la formule d’Euler-Maclaurin on peut
construire une m´ ethode d’int´ egration bas´ ee sur l’acc´ el´ eration de la convergence
de la m´ ethode des trap` ezes. On obtient ainsi un algorithme de calcul souple et
performant, ais´ e ` a programmer et souvent pr´ ef´ er´ e ` a tout autre dans la pratique.
º½º ÈÖÓÓ ³³ÜØÖÖÔÓÐÐØØÓÒ ÊÊÊÊÊÖÖ×ÓÒ
On suppose donn´ ee une fonction A qui admet un d´ eveloppement limit´ e ` a tout ordre
au voisinage de 0 :
A(t) = a 0 + a 1 t + . . . + a k t
k + R k+1 (t)