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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
D´ emonstration. On a par d´ efinition S n (f ) =
1
2 f (α) +
1
2 f (n) + T (f ) o` u T (f ) est
la somme des trap` ezes de f sur [α, n]. La formule d’Euler Maclaurin entraˆ ıne
S n (f ) =
1
2
f (α) +
1
2
f (n) +
n
α
f (x)dx +
k
m=1
b 2m
(2m)!
f
(2m−1) (n)
−
k
m=1
b 2m
(2m)!
f
(2m−1) (α) −
+∞
α
B 2k (x)
(2k)!
f
(2k) (x)dx
+
+∞
n
B 2k (x)
(2k)!
f
(2k) (x)dx.
On obtient donc le d´ eveloppement du th´ eor` eme avec une constante C = C k
d´ ependant a priori de k et un reste R n,k donn´ es par
C k =
1
2
f (α) −
k
m=1
b 2m
(2m)!
f
(2m−1) (α) −
+∞
α
B 2k (x)
(2k)!
f
(2k) (x)dx,
R n,k =
b 2k
(2k)!
f
(2k−1) (n) +
+∞
n
B 2k (x)
(2k)!
f
(2k) (x)dx,
` a condition de montrer que les int´ egrales convergent. Comme k >
m0
2 , f
(2k) est de
signe constant sur [x 0 , +∞[. D’apr` es l’in´ egalit´ e (∗∗) du § 4.2, il vient
+∞
n
B 2k (x)
(2k)!
f
(2k) (x)dx
≤
|b 2k |
(2k)!
+∞
n
f
(2k) (x)
,
+∞
n
f
(2k) (x)dx = lim
N →+∞
N
n
= lim
N →+∞
f
(2k−1) (N )−f
(2k−1) (n)
= −f
(2k−1) (n).
On a donc bien convergence et nos estimations montrent par ailleurs que l’int´ egrale
figurant dans R n,k est de valeur absolue plus petite que le premier terme, donc
R n,k = θ
b 2k
(2k)!
f
(2k−1) (n), θ ∈ [0, 2].
Il reste ` a voir qu’on a en fait θ ∈ [0, 1] et que C k ne d´ epend pas de k. Appliquons
la formule `
a l’ordre k + 1 et identifions avec la formule donnant S n (f ) `
a l’ordre k.
Il vient
C k + R n,k = C k+1 +
b 2k
(2k)!
f
(2k+1) (n) + R n,k+1 .
En faisant tendre n vers +∞, on trouve C k = C k+1 , donc C k est bien ind´ ependante
de k, et
R n,k =
b 2k
(2k)!
f
(2k+1) (n) + R n,k+1 .
D’apr` es ce qui pr´ ec` ede, R n,k est de mˆ eme signe que le terme b 2k /(2k)!f
(2k−1) (n)
tandis que R n,k+1 est du signe oppos´ e : le § 4.2 montre que signe (b 2k ) = (−1)
k+1 ,
tandis que signe f
(2k+1) = −signe f
(2k) = signe f
(2k−1) . On a donc
R n,k
b 2k
(2k)!
f
(2k−1) (n)
≤ 1,