III – Int´ egration num´ erique
81
En particulier, si l’on introduit la fonction ζ de Riemann
ζ(s) =
+∞
n=1
1
n s ,
on obtient
b 2k =
(−1)
k+1 2(2k)!
(2π) 2k
ζ(2k).
Comme ζ(s) ≤ 1 +
+∞
1
dx/x
s = 1 + 1/(s − 1), on voit que lim s→+∞ ζ(s) = 1 et en
particulier on a
b 2k ∼
(−1)
k+1 2(2k)!
(2π) 2k
quand k → +∞.
Les coefficients |b 2k | tendent donc vers +∞ assez vite. Par ailleurs, il est clair que
B 2k (x) atteint sa valeur absolue maximum pour x = 0 ; on obtient donc
|B 2k (x)| ≤ |b 2k |, ∀x ∈ R.
(∗∗)
Comme B 2k+1 (0) = 0 pour k ≥ 1, on a d’autre part
B 2k+1 (x) = (2k + 1)
x
0
B 2k (t)dt
donc |B 2k+1 (x)| ≤ (2k + 1)|x| |b 2k |. On en d´ eduit l’in´ egalit´ e
|B 2k+1 (x)| ≤
k +
1
2
|b 2k |
d’abord pour x ∈
0,
1
2
, puis pour x ∈
1
2 , 1
grˆ ace ` a la formule (3) du § 4.1, puis
pour tout x ∈ R par p´ eriodicit´ e.
º¿º ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ
ÐÐ ÖÖÖÖÖÖ ÚÚÐÓÔÔÔÑÑÒØ× ×ÝÑÔØÓØØÕÙÙ×
Soit f une fonction de classe C
∞ sur [α, +∞[ o` u α ∈ Z. Pour tout entier n ≥ α, on
cherche ` a obtenir un d´ eveloppement limit´ e ` a tout ordre de la somme
S n (f ) = f (α) + f (α + 1) + . . . + f (n)
lorsque n tend vers +∞. Un tel d´ eveloppement est appel´ e d´ eveloppement asymptotique de S n (f ) ; il permet g´ en´ eralement d’obtenir de tr` es bonnes valeurs approch´ ees
de S n (f ) lorsque n est grand.
Th´ eor` eme – On suppose qu’il existe un entier m 0 ∈ N et un r´ eel x 0 tels que
pour m ≥ m 0 les d´ eriv´ ees f
(m) (x) soient de signe constant sur [x 0 , +∞[, avec
lim x→+∞ f
(m) (x) = 0. Alors il existe une constante C ind´ ependante de n et k, telle
que pour tout n ≥ x 0 et tout k >
m0
2 on ait :
S n (f ) = C +
1
2
f (n) +
n
α
f (x)dx +
k−1
m=1
b 2m
(2m)!
f
(2m−1) (n) + R n,k
avec
R n,k = θ
b 2k
(2k)!
f
(2k−1) (n) = θ × (1
er terme omis),
θ∈ [0, 1].
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En particulier, si l’on introduit la fonction ζ de Riemann
ζ(s) =
+∞
n=1
1
n s ,
on obtient
b 2k =
(−1)
k+1 2(2k)!
(2π) 2k
ζ(2k).
Comme ζ(s) ≤ 1 +
+∞
1
dx/x
s = 1 + 1/(s − 1), on voit que lim s→+∞ ζ(s) = 1 et en
particulier on a
b 2k ∼
(−1)
k+1 2(2k)!
(2π) 2k
quand k → +∞.
Les coefficients |b 2k | tendent donc vers +∞ assez vite. Par ailleurs, il est clair que
B 2k (x) atteint sa valeur absolue maximum pour x = 0 ; on obtient donc
|B 2k (x)| ≤ |b 2k |, ∀x ∈ R.
(∗∗)
Comme B 2k+1 (0) = 0 pour k ≥ 1, on a d’autre part
B 2k+1 (x) = (2k + 1)
x
0
B 2k (t)dt
donc |B 2k+1 (x)| ≤ (2k + 1)|x| |b 2k |. On en d´ eduit l’in´ egalit´ e
|B 2k+1 (x)| ≤
k +
1
2
|b 2k |
d’abord pour x ∈
0,
1
2
, puis pour x ∈
1
2 , 1
grˆ ace ` a la formule (3) du § 4.1, puis
pour tout x ∈ R par p´ eriodicit´ e.
º¿º ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ
ÐÐ ÖÖÖÖÖÖ ÚÚÐÓÔÔÔÑÑÒØ× ×ÝÑÔØÓØØÕÙÙ×
Soit f une fonction de classe C
∞ sur [α, +∞[ o` u α ∈ Z. Pour tout entier n ≥ α, on
cherche ` a obtenir un d´ eveloppement limit´ e ` a tout ordre de la somme
S n (f ) = f (α) + f (α + 1) + . . . + f (n)
lorsque n tend vers +∞. Un tel d´ eveloppement est appel´ e d´ eveloppement asymptotique de S n (f ) ; il permet g´ en´ eralement d’obtenir de tr` es bonnes valeurs approch´ ees
de S n (f ) lorsque n est grand.
Th´ eor` eme – On suppose qu’il existe un entier m 0 ∈ N et un r´ eel x 0 tels que
pour m ≥ m 0 les d´ eriv´ ees f
(m) (x) soient de signe constant sur [x 0 , +∞[, avec
lim x→+∞ f
(m) (x) = 0. Alors il existe une constante C ind´ ependante de n et k, telle
que pour tout n ≥ x 0 et tout k >
m0
2 on ait :
S n (f ) = C +
1
2
f (n) +
n
α
f (x)dx +
k−1
m=1
b 2m
(2m)!
f
(2m−1) (n) + R n,k
avec
R n,k = θ
b 2k
(2k)!
f
(2k−1) (n) = θ × (1
er terme omis),
θ∈ [0, 1].