80
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
En appliquant ceci pour p = 2k et en tenant compte du fait que b m = 0 si m est
impair ≥ 3, on obtient la
Formule d’Euler-Maclaurin – Soit f une fonction de classe C
k sur [α, β]
o` u α, β ∈ Z et soit T (f ) =
1
2 f (α) + f (α + 1) + . . . + f (β − 1) +
1
2 f (β) la somme
des trap` ezes associ´ ees ` a f . Alors
T (f ) =
β
α
f (x)dx +
k
m=1
b 2m
(2m)!
f
(2m−1) (β) − f
(2m−1) (α)
−
β
α
B 2k (x)
(2k)!
f
(2k) (x)dx.
Pour pouvoir exploiter cette formule `
a des fins num´ eriques, il importe de savoir
majorer la fonction B 2k (x) qui intervient dans le reste int´ egral.
º¾º ÄÄÄÒ ÚÚÚ ÐÐ× × ÖÖÖ× ÓÙÖÖÖÖ Ø ×ØØÑÑØØÓÒ B p
Comme B p est p´ eriodique de p´ eriode 1, il est tentant de rechercher un d´ eveloppement de B p en s´ erie de Fourier. D’apr` es la formule (∗) du § 4.1 appliqu´ ee ` a
f (x) = e
−2πinx , il vient
1 =
1
0
e
−2πinx dx + 0 − (2πin)
p
1
0
B p (x)
p!
e
−2πinx dx,
et la premi` ere int´ egrale est nulle pour n = 0. On en d´ eduit que le coefficient de
Fourier d’indice n de B p est

  
  
B p (n) = −
p!
(2πin) p
si n = 0,
B p (0) =
1
0
B p (x) = 0 si n = 0.
Pour p ≥ 2, la s´ erie de Fourier est absolument convergente et B p est continue, donc
B p (x) = −p!
n∈Z ∗
e
2πinx
(2πin) p , (∀x ∈ R).
Pour p = 1, la fonction B 1 est de classe C
1 par morceaux, donc la s´ erie converge
vers B 1 (x) en tout point x ∈ Z et vers
1
2
B 1 (x + 0) + B 1 (x − 0)
= 0 si x ∈ Z. La
formule ci-dessus peut se r´ ecrire
B 2k (x) =
(−1)
k+1 2(2k)!
(2π) 2k
+∞
n=1
cos 2πnx
n 2k ,
B 2k+1 (x) =
(−1)
k+1 2(2k + 1)!
(2π) 2k+1
+∞
n=1
sin 2πnx
n 2k+1 .