III – Int´ egration num´ erique
79
D´ emonstration
(1) La formule est vraie pour p = 1 d’apr` es la d´ efinition de b 0 , b 1 . Supposons la
formule vraie `
a l’ordre p − 1 :
B p−1 (x) =
p−1
m=0
C
m
p−1 b m x
p−1−m .
On a alors
B
p (x) = pB p−1 (x) =
p−1
m=0
pC
m
p−1 b m x
p−1−m ,
B p (x) = B p (0) +
p−1
m=0
p
p − m
C
m
p−1 b m x
p−m
= b p +
p−1
m=0
C
m
p b m x
p−m ,
donc la formule est encore vraie `
a l’ordre p.
(2) D’apr` es ce qui pr´ ec` ede, B p est continue sur R pour tout p ≥ 2 et v´ erifie
B p (1) = B p (0) = b p , par cons´ equent (2) est un cas particulier de (1).
(3) Par r´ ecurrence sur p, on voit que (−1)
p B p (1 − x) a pour d´ eriv´ ee
−(−1)
p B
p (1 − x) = p(−1)
p−1 B p−1 (1 − x) = pB p−1 (x) = B
p (x).
Comme (−1)
p B p (1 − x) est d’int´ egrale nulle sur [0, 1], on en d´ eduit que
(−1)
p B p (1 − x) et B p (x) co¨ ıncident.
(4) Pour p ≥ 2 et x = 0, (3) donne b p = (−1)
p b p , donc b p = 0 si p est impair.
La relation (2) appliqu´ ee ` a p = 2k + 1 donne
0 = C
2k
2k+1 b 2k + C
2k−2
2k+1 b 2k−2 + . . . + C
2
2k+1 b 2 + C
1
2k+1 b 1 + 1.
Ceci permet de calculer par r´ ecurrence les nombres de Bernoulli successifs :
b 0 = 1, b 1 = −
1
2
, b 2 =
1
6
, b 4 = −
1
30
, b 6 =
1
42
, b 8 = −
1
30
, b 10 =
5
66
, . . .
Supposons maintenant donn´ ee une fonction f de classe C
p sur [α, β] o` u α, β sont
des entiers. Grˆ ace ` a la p´ eriodicit´ e des fonctions B p , la formule (∗) ci-dessus est
vraie sur chaque intervalle [α, α + 1], . . . , [β − 1, β]. Par sommation, on en d´ eduit
1
2
f (α) + f (α + 1) + . . . + f (β − 1) +
1
2
f (β) =
β
α
f (x)dx
+
p
m=2
(−1)
m b m
m!
f
(m−1) (β) − f
(m−1) (α)
+ (−1)
p+1
β
α
B p (x)
p!
f
(p) (x)dx.