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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Calculons par exemple B 2 . On a par d´ efinition
B
2 (x) = 2B 1 (x) = 2x − 1, d’o` u
B 2 (x) = x
2
− x + C, x ∈ [0, 1],
et la condition
1
0
B 2 (x)dx = 0 implique C =
1
6 . On voit facilement par r´ ecurrence
que B p est un polynˆ ome unitaire de degr´ e p ` a coefficients rationnels, tel que
B p (0) = B p (1) pour p ≥ 2. On convient d’´ etendre B p ` a R en posant
B p (x) = B p (x − E(x)) si x ∈ [0, 1[.
On obtient ainsi une fonction p´ eriodique de p´ eriode 1 qui est un polynˆ ome en
restriction `
a [0, 1[ (mais qui, bien entendu, n’est pas un polynˆ ome sur R tout entier).
−2
−1
0
1 /2
1
2
x
−1/2
1/2
B 1
−2
−1
1
2
x
−1/12
1/6
B 2
Th´ eor` eme et d´ efinition – Les polynˆ omes B p sont appel´ es polynˆ omes de
Bernoulli. Les nombres de Bernoulli sont les r´ eels b p d´ efinis par
b 0 = 1, b 1 = −
1
2
, b p = B p (0) si p ≥ 2.
On a les formules :
(1) B p (x) =
p
m=0
C
m
p b m x
p−m
, p ≥ 1, x ∈ [0, 1[.
(2) b p =
p
m=0
C
m
p b m
, p ≥ 2.
(3) B p (1 − x) = (−1)
p B p (x)
, p ≥ 1.
(4) b m = 0 si m est impair ≥ 3.