III – Int´ egration num´ erique
77
et on peut d´ emontrer (voir par exemple le livre de Crouzeix-Mignot, exercice 2.4)
que λ j =
π
l+1 . On obtient donc une m´ ethode approch´ ee d’ordre 2l + 1 s’´ ecrivant :
1
−1
f (x)
dx
√
1 − x 2
π
l + 1
l
j=0
f
cos
2j + 1
2l + 2
π
.
º ÓÖÑÙÐÐ ³³ÙÐÐÖ¹ÅÅÐÐÙÖÖÒ Ø ÚÚÐÓÔÔÔÑÑÒØ×
×ÝÑÔØÓØØÕÙÙ×
Nous allons quitter ici quelque peu le fil directeur des paragraphes pr´ ec´ edents. Notre
objectif est d’obtenir une formule th´ eorique pour le calcul du d´ eveloppement limit´ e
des approximations num´ eriques en fonction du pas de la subdivision. Ceci conduit,
pour des fonctions suffisamment r´ eguli` eres, ` a des proc´ ed´ es num´ eriques en g´ en´ eral
tr` es performants.
º½º ÈÓÐÝÒ ÓÑÑ× Ø ÒÓÑÑÖÖ× ÖÒÓÙÐÐÐ
Soit f une fonction de classe C
p sur [0, 1] avec p ≥ 1. Une int´ egration par parties
donne
1
0
f (x)dx =
x −
1
2
f (x)
1
0
−
1
0
x −
1
2
f
(x)dx,
ce qui peut se r´ ecrire
1
2
f (0) +
1
2
f (1) =
1
0
f (x)dx +
1
0
B 1 (x)f
(x)dx
avec B 1 (x) = x −
1
2 , ce choix ayant l’int´ erˆ et que
1
0
B 1 (x)dx = 0. L’id´ ee consiste ` a
r´ ep´ eter les int´ egrations par parties en introduisant des primitives successives de B 1
dont l’int´ egrale sur [0, 1] est nulle. De fa¸ con pr´ ecise, on choisit B p en sorte que
B
p (x) = pB p−1 (x),
1
0
B p (x)dx = 0,
la deuxi` eme condition permettant de fixer la constante d’int´ egration de mani` ere
unique. On trouve ainsi
1
0
B p−1 (x)f
(p−1) (x)dx =
1
p
B p (x)f
(p−1) (x)
1
0
−
1
0
1
p
B p (x)f
(p) (x)dx,
1
0
B p−1 (x)
(p − 1)!
f
(p−1) (x)dx =
b p
p!
f
(p−1) (1) − f
(p−1) (0)
−
1
0
B p (x)
p!
f
(p) (x)dx,
o` u b p = B p (0) = B p (1) par d´ efinition (noter que B p (1) − B p (0) =
1
0
pB p−1 (x)dx
est nulle pour p ≥ 2). De ceci on d´ eduit facilement par r´ ecurrence la formule
1
2
f (0) +
1
2
f (1) =
1
0
f (x)dx +
b
m=2
(−1)
m b m
m!
f
(m−1) (1) − f
(m−1) (0)
+ (−1)
p+1
1
0
B p (x)
p!
f
(p) (x)dx.
(∗)
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et on peut d´ emontrer (voir par exemple le livre de Crouzeix-Mignot, exercice 2.4)
que λ j =
π
l+1 . On obtient donc une m´ ethode approch´ ee d’ordre 2l + 1 s’´ ecrivant :
1
−1
f (x)
dx
√
1 − x 2
π
l + 1
l
j=0
f
cos
2j + 1
2l + 2
π
.
º ÓÖÑÙÐÐ ³³ÙÐÐÖ¹ÅÅÐÐÙÖÖÒ Ø ÚÚÐÓÔÔÔÑÑÒØ×
×ÝÑÔØÓØØÕÙÙ×
Nous allons quitter ici quelque peu le fil directeur des paragraphes pr´ ec´ edents. Notre
objectif est d’obtenir une formule th´ eorique pour le calcul du d´ eveloppement limit´ e
des approximations num´ eriques en fonction du pas de la subdivision. Ceci conduit,
pour des fonctions suffisamment r´ eguli` eres, ` a des proc´ ed´ es num´ eriques en g´ en´ eral
tr` es performants.
º½º ÈÓÐÝÒ ÓÑÑ× Ø ÒÓÑÑÖÖ× ÖÒÓÙÐÐÐ
Soit f une fonction de classe C
p sur [0, 1] avec p ≥ 1. Une int´ egration par parties
donne
1
0
f (x)dx =
x −
1
2
f (x)
1
0
−
1
0
x −
1
2
f
(x)dx,
ce qui peut se r´ ecrire
1
2
f (0) +
1
2
f (1) =
1
0
f (x)dx +
1
0
B 1 (x)f
(x)dx
avec B 1 (x) = x −
1
2 , ce choix ayant l’int´ erˆ et que
1
0
B 1 (x)dx = 0. L’id´ ee consiste ` a
r´ ep´ eter les int´ egrations par parties en introduisant des primitives successives de B 1
dont l’int´ egrale sur [0, 1] est nulle. De fa¸ con pr´ ecise, on choisit B p en sorte que
B
p (x) = pB p−1 (x),
1
0
B p (x)dx = 0,
la deuxi` eme condition permettant de fixer la constante d’int´ egration de mani` ere
unique. On trouve ainsi
1
0
B p−1 (x)f
(p−1) (x)dx =
1
p
B p (x)f
(p−1) (x)
1
0
−
1
0
1
p
B p (x)f
(p) (x)dx,
1
0
B p−1 (x)
(p − 1)!
f
(p−1) (x)dx =
b p
p!
f
(p−1) (1) − f
(p−1) (0)
−
1
0
B p (x)
p!
f
(p) (x)dx,
o` u b p = B p (0) = B p (1) par d´ efinition (noter que B p (1) − B p (0) =
1
0
pB p−1 (x)dx
est nulle pour p ≥ 2). De ceci on d´ eduit facilement par r´ ecurrence la formule
1
2
f (0) +
1
2
f (1) =
1
0
f (x)dx +
b
m=2
(−1)
m b m
m!
f
(m−1) (1) − f
(m−1) (0)
+ (−1)
p+1
1
0
B p (x)
p!
f
(p) (x)dx.
(∗)