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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
g admet x 0 , . . . , x l comme z´ eros de multiplicit´ e 2, et θ de multiplicit´ e ≥ 1, c’est-` adire au moins 2l + 3 z´ eros. Il existe donc un point η interm´ ediaire entre les points
x j , θ, tel que g
(2l+2) (η) = 0. Par suite
0 = g
(2l+2) (η) = Φ
(2l+2) (η) − (2l + 2)! q(θ) = ϕ(η) − (2l + 2)! q(θ)
et comme ϕ(η) > 0 on en d´ eduit bien q(θ) > 0, contradiction. Par suite K 2l+1 ≥ 0
et le corollaire 2 du § 2.2 donne
E(f ) =
1
(2l + 2)!
f
(2l+2) (ξ) E(x → x
2l+2 ).
Comme π l+1 est unitaire, on a x
2l+2 = π l+1 (x)
2 + r(x) o` u r ∈ P 2l+1 , donc
E(x → x
2l+2 ) = E(π
2
l+1 ) =
β
α
π l+1 (x)
2 w(x)dx, ce qui d´ emontre le th´ eor` eme.
¿º¾º × ÔÖØØØÙÐÐÐÖ× ³Ù×× Ö ÕÙÙÒØ
L’int´ erˆ et des m´ ethodes de Gauss est de r´ ealiser l’ordre N maximal pour un nombre
fix´ e l + 1 de points d’interpolation. N´ eanmoins, la complexit´ e du calcul des
polynˆ omes orthogonaux fait que les m´ ethodes de Gauss ne sont gu` ere utilis´ ees que
dans les deux cas suivants.
• w(x) = 1 sur [−1, 1] : m´ ethode de Gauss-Legendre.
Les polynˆ omes orthogonaux successifs et les points x j correspondant sont donn´ es
par le tableau :
l
π l+1 (x)
x 0 , . . . , x l
λ 0 , . . . , λ l
ordre N
−1 1
0 x
0
2
1
1 x
2
−
1
3
−
1
√
3
,
1
√
3
1, 1
3
2 x
3
−
3
5
x
−
3
5
, 0,
3
5
5
9
,
8
9
,
5
9
5
3 x
4
−
6
7
x
2 +
3
35
±
3
7
±
2
7
6
5
1
2
−
1
6
5
6
,
1
2
+
1
6
5
6
7
4 x
5
−
10
9
x
3 +
5
21
x 0, ±
5
9
±
2
9
10
7
compliqu´ es !
9
• w(x) =
1
√
1 − x 2
sur ] − 1, 1[ : m´ ethode de Gauss-Tchebychev.
Les points x j sont alors les points d’interpolation de Tchebychev dans l’intervalle
] − 1, 1[ :
x j = cos
2j + 1
2l + 2
π, 0 ≤ j ≤ l,
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
g admet x 0 , . . . , x l comme z´ eros de multiplicit´ e 2, et θ de multiplicit´ e ≥ 1, c’est-` adire au moins 2l + 3 z´ eros. Il existe donc un point η interm´ ediaire entre les points
x j , θ, tel que g
(2l+2) (η) = 0. Par suite
0 = g
(2l+2) (η) = Φ
(2l+2) (η) − (2l + 2)! q(θ) = ϕ(η) − (2l + 2)! q(θ)
et comme ϕ(η) > 0 on en d´ eduit bien q(θ) > 0, contradiction. Par suite K 2l+1 ≥ 0
et le corollaire 2 du § 2.2 donne
E(f ) =
1
(2l + 2)!
f
(2l+2) (ξ) E(x → x
2l+2 ).
Comme π l+1 est unitaire, on a x
2l+2 = π l+1 (x)
2 + r(x) o` u r ∈ P 2l+1 , donc
E(x → x
2l+2 ) = E(π
2
l+1 ) =
β
α
π l+1 (x)
2 w(x)dx, ce qui d´ emontre le th´ eor` eme.
¿º¾º × ÔÖØØØÙÐÐÐÖ× ³Ù×× Ö ÕÙÙÒØ
L’int´ erˆ et des m´ ethodes de Gauss est de r´ ealiser l’ordre N maximal pour un nombre
fix´ e l + 1 de points d’interpolation. N´ eanmoins, la complexit´ e du calcul des
polynˆ omes orthogonaux fait que les m´ ethodes de Gauss ne sont gu` ere utilis´ ees que
dans les deux cas suivants.
• w(x) = 1 sur [−1, 1] : m´ ethode de Gauss-Legendre.
Les polynˆ omes orthogonaux successifs et les points x j correspondant sont donn´ es
par le tableau :
l
π l+1 (x)
x 0 , . . . , x l
λ 0 , . . . , λ l
ordre N
−1 1
0 x
0
2
1
1 x
2
−
1
3
−
1
√
3
,
1
√
3
1, 1
3
2 x
3
−
3
5
x
−
3
5
, 0,
3
5
5
9
,
8
9
,
5
9
5
3 x
4
−
6
7
x
2 +
3
35
±
3
7
±
2
7
6
5
1
2
−
1
6
5
6
,
1
2
+
1
6
5
6
7
4 x
5
−
10
9
x
3 +
5
21
x 0, ±
5
9
±
2
9
10
7
compliqu´ es !
9
• w(x) =
1
√
1 − x 2
sur ] − 1, 1[ : m´ ethode de Gauss-Tchebychev.
Les points x j sont alors les points d’interpolation de Tchebychev dans l’intervalle
] − 1, 1[ :
x j = cos
2j + 1
2l + 2
π, 0 ≤ j ≤ l,