III – Int´ egration num´ erique
75
donc la m´ ethode n’est pas d’ordre 2l + 2.
D´ emonstration.* D’apr` es le § 2.2, on a
E(f ) =
1
(2l + 1)!
β
α
K 2l+1 (t)f
(2l+2) (t)dt.
Inversement, si ϕ ∈ C([α, β]), on obtient
β
α
K 2l+1 (t)ϕ(t)dt = (2l + 1)! E(Φ)
o` u Φ est une primitive d’ordre 2l + 2 de ϕ. Supposons par l’absurde qu’il existe
t 0 ∈ [α, β] tel que K 2l+1 (t 0 ) < 0. Notons K
−
2l+1 = max (−K 2l+1 , 0) ∈ C([α, β]) la
partie n´ egative de la fonction K 2l+1 , et soit ϕ un polynˆ ome qui approche K
−
2l+1 + ε
uniform´ ement ` a ε pr` es sur [α, β]. On a donc en particulier
0 ≤ K
−
2l+1 < ϕ < K
−
2l+1 + 2ε,
β
α
K 2l+1 (t)ϕ(t)dt −
β
α
K 2l+1 (t)K
−
2l+1 (t)dt
≤ 2ε
β
α
|K 2l+1 (t)|dt.
Comme
β
α
K 2l+1 (t)K
−
2l+1 (t)dt = −
β
α
(K
−
2l+1 (t))
2 dt < 0, on en d´ eduit pour ε assez
petit :
β
α
K 2l+1 (t)ϕ(t)dt < 0.
Soit Φ une primitive d’ordre 2l + 2 de ϕ; Φ est un polynˆ ome. ´
Ecrivons la division
euclidienne de Φ par π
2
l+1 :
Φ(x) = π
2
l+1 (x)q(x) + r(x)
avec deg r ≤ deg (π
2
l+1 ) − 1 = 2l + 1. Il vient E(r) = 0 d’o` u
E(Φ) = E(π
2
l+1 q) =
β
α
π
2
l+1 (x)q(x)w(x)dx − 0.
La formule de la moyenne implique qu’il existe θ ∈ ]α, β[ tel que
E(Φ) = q(θ)
β
α
π
2
l+1 (x)w(x)dx,
et par ailleurs
E(Φ) =
1
(2l + 1)!
β
α
K 2l+1 (t)ϕ(t)dt < 0.
On va obtenir une contradiction en montrant que q(θ) > 0. Consid´ erons le polynˆ ome
g(x) = Φ(x) − r(x) − π
2
l+1 (x)q(θ) = π
2
l+1 (x)(q(x) − q(θ)).