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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Soit L i ∈ P l tel que
L i (x j ) = 1 si i = j,
L i (x j ) = 0 si i = j.
Les coefficients λ i sont donn´ es n´ ecessairement par
λ i =
l
j=0
λ j L i (x j ) =
β
α
L i (x)w(x)dx.
Ces coefficients sont donc eux aussi uniques.
Existence. On sait que le polynˆ ome orthogonal π l+1 ∈ P l+1 poss` ede l + 1 racines
distinctes dans ]α, β[. Soient x 0 , . . . , x l ces racines et soit
λ j =
β
α
L j (x)w(x)dx.
Si f ∈ C([α, β]), le polynˆ ome d’interpolation de Lagrange est
p l (x) =
l
j=0
f (x j )L j (x);
par d´ efinition des coefficients λ j il vient donc
β
α
p l (x)w(x) =
l
j=0
λ j f (x j ).
Si f ∈ P l alors p l = f , donc la m´ ethode est d’ordre ≥ l. Montrons que l’ordre est
en fait ≥ 2l + 1. En effet, lorsque f ∈ P 2l+1 , la division euclidienne de f par π l+1
donne
f (x) = q(x)π l+1 (x) + r(x), avec deg q ≤ l, deg r ≤ l.
Comme π l+1 ⊥ P l , il vient
β
α
q(x)π l+1 (x)w(x)dx = 0, d’o` u
β
α
f (x)w(x)dx =
β
α
r(x)w(x)dx =
l
j=0
λ j r(x j )
Comme f (x j ) = r(x j ), on a donc bien E(f ) = 0. Il reste seulement ` a voir que
l’ordre n’est pas > 2l + 1, ce qui r´ esulte du th´ eor` eme ci-dessous.
Th´ eor` eme 2 – Le noyau de Peano K 2l+1 est ≥ 0, et pour tout f ∈ C
2l+2 ([α, β]),
il existe ξ ∈ ]α, β[ tel que
E(f ) =
f
(2l+2) (ξ)
(2l + 2)!
β
α
π l+1 (x)
2 w(x)dx.
On notera en particulier que ceci entraˆ ıne
E(x → x
2l+2 ) =
β
α
π l+1 (x)
2 w(x)dx > 0,