III – Int´ egration num´ erique
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d’o` u le th´ eor` eme.
Les exemples du § 2.3 donnent en particulier :
• Point milieu :
N = 1, C 1 =
1
3
,
E comp (f ) =
1
24
h
2 f
(ξ)(β − α),
• Trap` ezes :
N = 1, C 1 = −
2
3
,
E comp (f ) = −
1
12
h
2 f
(ξ)(β − α),
• Simpson :
N = 3, C 3 = −
1
15
,
E comp (f ) = −
1
2880
h
4 f
(4) (ξ)(β − α).
¿º Å ØØÓÓÓ× Ù××
Les m´ ethodes de Gauss concernent le calcul num´ erique d’int´ egrales faisant intervenir
un poids. Elles constituent une application directe de la th´ eorie des polynˆ omes
orthogonaux.
¿º½º ××ÖÖÔØØÓÒ Ø ÓÖÑÙÐÐ ³³ÖÖÖÙÖ
Soit w une fonction poids fix´ ee sur ]α, β[. On ´ etudie les m´ ethodes d’int´ egration
approch´ ee du type
β
α
f (x)w(x)dx
l
j=0
λ j f (x j ), x j ∈ [α, β].
Th´ eor` eme 1 – Il existe un choix et un seul des points x j et des coefficients λ j
de sorte que la m´ ethode soit d’ordre N = 2l + 1. Les points x j appartiennent ` a
]α, β[ et sont les racines du (l + 1)-i` eme polynˆ ome orthogonal pour le poids w.
Unicit´ e. Supposons qu’on ait des points x j et des coefficients λ j pour lesquels la
m´ ethode est d’ordre ≥ 2l + 1. Posons
π l+1 (x) =
l
j=0
(x − x j ).
Pour tout p ∈ P l , deg(pπ l+1 ) ≤ 2l + 1, donc
β
α
p(x)π l+1 (x)w(x)dx =
l
j=0
λ j p(x j )π l+1 (x j ) = 0.
Ceci entraˆ ıne que π l+1 est orthogonal `
a P l . Comme π l+1 est unitaire, c’est donc le
(l + 1)-i` eme polynˆ ome orthogonal associ´ e au poids w. Les points x j ne sont autres
que les racines de ce polynˆ ome.