72
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Dans les 2 cas u → (u − θ i )
N
+ est un polynˆ ome de degr´ e ≤ N sur [−1, 1] donc
E elem
u → (u − θ i )
N
+
= 0. Dans la sommation, il n’y a donc que le terme i = j,
d’o` u :
K N (t) =
hj
2
N +1
k N
2
hj
t −
αj +αj+1
2
, t ∈ [α j , α j+1 ].
−1
0
1
u
0
α α 1 α 2 α 3 α 4 β
t
k N
K N
Th´ eor` eme – On suppose que k N est de signe constant et que le pas h i
est constant, ´ egal `
a h =
β−α
k . On note C N =
1
−1
k N (t)dt. Alors pour tout
f ∈ C
N +1 ([α, β]), il existe un point ξ ∈ ]α, β[ tel que
E comp (f ) =
C N
N ! 2 N +2 h
N +1 f
(N +1) (ξ)(β − α).
On voit donc que lorsque le pas h tend vers 0 l’ordre de grandeur de l’erreur dans
une m´ ethode compos´ ee d’ordre N est approximativement h
N +1 . Ce r´ esultat justifie
l’int´ erˆ et des m´ ethodes d’ordre ´ elev´ e, qui donnent une pr´ ecision plus grande pourvu
que f soit tr` es r´ eguli` ere.
D´ emonstration. K N ´ etant lui aussi de signe constant, le corollaire 2 du § 2.2
montre l’existence de ξ ∈ ]α, β[ tel que
E comp (f ) =
1
N !
f
(N +1) (ξ)
β
α
K N (t)dt.
D’apr` es l’expression de K N , on obtient
β
α
K N (t)dt = k
α1
α0
K N (t)dt
= k
h
2
N +1 α1
α0
k n
2
h
t −
α 0 + α 1
2
dt
Le changement de variable t =
α0+α1
2
+
h
2 u, dt =
h
2 du fournit
β
α
K N (t)dt = k
h
2
N +2 1
−1
k n (u)du
= kh
h
N +1
2 N +2 C N =
C N
2 N +2 h
N +1 (β − α),