III – Int´ egration num´ erique
71
On consid` ere maintenant une subdivision de [α, β] :
α = α 0 < α 1 < . . . < α k = β
de pas h i = α i+1 − α i . L’erreur de la m´ ethode compos´ ee associ´ ee ` a la m´ ethode
´ el´ ementaire ci-dessus est
E comp (f ) =
β
α
f (x)dx −
k−1
i=0
h i
l
j=0
ω j f (ξ i,j )
o` u ξ i,j se d´ eduit de τ j par le changement de variable
[−1, 1] −→ [α i , α i+1 ]
u −→ x =
α i + α i+1
2
+ u
h i
2
.
D´ efinissons g i ∈ C([−1, 1]) par
g i (u) = f
α i + α i+1
2
+ u
h i
2
.
Comme dx =
hi
2 du, il vient
E comp (f ) =
k−1
i=0

 h i
2
1
−1
g i (u)du − h i
l
j=0
ω j g i (τ j )

 =
k−1
i=0
h i
2
E elem (g i ).
Le noyau de Peano de la m´ ethode compos´ ee est donc
K N (t) = E comp
x → (x − t)
N
+
=
k−1
i=0
h i
2
E elem
u →
α i + α i+2
2
+ u
h i
2
− t
N
+
=
k−1
i=0
h i
2
E elem
u →
h i
2
N
u −
2
h i
t −
α i + α i+i
2
N
+
K N (t) =
k−1
i=0
h i
2
N +1
E elem
u →
u −
2
h i
t −
α i + α i+1
2
N
+
Supposons t ∈ [α j , α j+1 ], et soit θ i =
2
h i
t −
α i + α i+1
2
. Alors θ i ∈ [−1, 1] si et
seulement si i = j. Si i = j on a
• ou bien θ i > 1, et (u − θ i )
N
+ ≡ 0
pour u ∈ [−1, 1] :
• ou bien θ i < −1, et (u − θ i )
N
+ ≡ (u − θ i )
N pour u ∈ [−1, 1].