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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Si t ≤ 0, on a
K 3 (t) = −
1
12
(1 − t)
3 (1 + 3t) +
4
3
t
3 = −
1
12
(1 + t)
3 (1 − 3t).
On aurait pu ´ egalement observer que K 3 (−t) = K 3 (t) comme il r´ esulte de l’exercice
suivant.
Exercice – Montrer que le noyau de Peano K N d’une m´ ethode ´ el´ ementaire
1
−1
f (x)dx 2
l
j=0
ω j f (ξ j )
est pair d` es que ω l−j = ω j et ξ l−j = −ξ j (points et coefficients r´ epartis
sym´ etriquement autour de 0).
Indication : (x + t)
N
+ − (−x − t)
N
+ = (x + t)
N .
On a donc ici
K 3 (t) = −
1
12
(1 − |t|)
3 (1 + 3|t|) ≤ 0 sur [−1, 1],
1
−1
K 3 (t) = 2
1
0
1
4
(1 − t)
4
−
1
3
(1 − t)
3
dt = 2
1
20
−
1
12
= −
1
15
,
E(f ) = −
1
15 · 3!
f
(4) (ξ).
Nous admettrons le r´ esultat g´ en´ eral suivant.
Th´ eor` eme de Steffensen – Dans les m´ ethodes de Newton-Cotes, le noyau de
Peano est de signe constant.
Le corollaire 2 du §2.2 est donc toujours applicable dans ce cas.
¾ººº ÆÓÝÙ ÈÈÈÒÓ ³ÙÒÒ Ñ ØØÓÓÓ ÓÑÔÓ×
On suppose qu’on s’est fix´ e une m´ ethode de quadrature ´ el´ ementaire
1
−1
g(x)dx 2
l
j=0
ω j g(τ j ), τ j ∈ [−1, 1].
L’erreur correspondante est
E elem (g) =
1
−1
g(x)dx − 2
l
j=0
ω j g(τ j ).
On notera k n le noyau de Peano associ´ e.