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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
comme C ou C++, et particuli` erement dans un environnement de programmation
libre comme GCC sous GNU/Linux. Bien entendu, il existe des logiciels libres
sp´ ecialis´ es dans le calcul num´ erique qui impl´ ementent les principaux algorithmes
utiles sous forme de librairies toutes prˆ etes – Scilab est l’un des plus connus – mais
d’un point de vue p´ edagogique et dans un premier temps au moins, il est bien plus
formateur pour les ´ etudiants de mettre vraiment “la main dans le cambouis” en programmant eux-mˆ emes les algorithmes. Nous ne citerons pas d’environnements ni
de logiciels propri´ etaires ´ equivalents, parce que ces logiciels dont le fonctionnement
intime est inaccessible ` a l’utilisateur sont contraires `
a notre ´ ethique scientifique ou
´ educative, et nous ne souhaitons donc pas en encourager l’usage.
L’ensemble des sujets abord´ es dans le pr´ esent ouvrage d´ epasse sans aucun doute
le volume pouvant ˆ etre trait´ e en une seule ann´ ee de cours – mˆ eme si jadis nous
avions pu en enseigner l’essentiel au cours de la seule ann´ ee de Licence. Dans les
conditions actuelles, il nous paraˆ ıt plus judicieux d’envisager une r´ epartition du
contenu sur l’ensemble des deux ann´ ees du second cycle universitaire. Ce texte
est probablement utilisable aussi pour les ´ el` eves d’´ ecoles d’ing´ enieurs, ou comme
ouvrage de synth` ese au niveau de l’agr´ egation de math´ ematiques. Pour guider
le lecteur dans sa s´ election, les sous-sections de chapitres les plus difficiles ainsi
que les d´ emonstrations les plus d´ elicates sont marqu´ ees d’un ast´ erisque. Le lecteur
pourra trouver de nombreux exemples de trac´ es graphiques de solutions d’´ equations
diff´ erentielles dans le livre d’Artigue-Gautheron : on y trouvera en particulier des
illustrations vari´ ees des ph´ enom` enes qualitatifs ´ etudi´ es au chapitre X, concernant
les points singuliers des champs de vecteurs.
Je voudrais ici remercier mes coll` egues grenoblois pour les remarques et am´ eliorations constantes sugg´ er´ ees tout au long de notre collaboration pendant les trois
ann´ ees qu’a dur´ e ce cours. Mes plus vifs remerciements s’adressent ´ egalement
` a Mich` ele Artigue, Alain Dufresnoy, Jean-Ren´ e Joly et Marc Rogalski, qui ont
bien voulu prendre de leur temps pour relire le manuscrit original de mani` ere tr` es
d´ etaill´ ee. Leurs critiques et suggestions ont beaucoup contribu´ e ` a la mise en forme
d´ efinitive de cet ouvrage.
Saint-Martin d’H` eres, le 5 novembre 1990
La seconde ´ edition de cet ouvrage a b´ en´ efici´ e d’un bon nombre de remarques et de suggestions
propos´ ees par Marc Rogalski. Les modifications apport´ ees concernent notamment le d´ ebut du
chapitre VIII, o` u la notion d´ elicate d’erreur de consistance a ´ et´ e plus clairement explicit´ ee, et
les exemples des chapitres VI et XI traitant du mouvement du pendule simple. L’auteur tient ` a
remercier de nouveau Marc Rogalski pour sa pr´ ecieuse contribution.
Saint-Martin d’H` eres, le 26 septembre 1996
La troisi` eme ´ edition de cet ouvrage a ´ et´ e enrichie d’un certain nombre de compl´ ements th´ eoriques et
pratiques : comportement g´ eom´ etrique des suites it´ eratives en dimension 1, th´ eor` eme des fonctions
implicites et ses variantes g´ eom´ etriques dans le chapitre IV ; crit` ere de maximalit´ e des solutions
dans le chapitre V ; calcul de g´ eod´ esiques dans le chapitre VI ; quelques exemples et exercices
additionnels dans les chapitres suivants ; notions ´ el´ ementaires sur les flots de champs de vecteurs
dans le chapitre XI.
Saint-Martin d’H` eres, le 28 f´ evrier 2006
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
comme C ou C++, et particuli` erement dans un environnement de programmation
libre comme GCC sous GNU/Linux. Bien entendu, il existe des logiciels libres
sp´ ecialis´ es dans le calcul num´ erique qui impl´ ementent les principaux algorithmes
utiles sous forme de librairies toutes prˆ etes – Scilab est l’un des plus connus – mais
d’un point de vue p´ edagogique et dans un premier temps au moins, il est bien plus
formateur pour les ´ etudiants de mettre vraiment “la main dans le cambouis” en programmant eux-mˆ emes les algorithmes. Nous ne citerons pas d’environnements ni
de logiciels propri´ etaires ´ equivalents, parce que ces logiciels dont le fonctionnement
intime est inaccessible ` a l’utilisateur sont contraires `
a notre ´ ethique scientifique ou
´ educative, et nous ne souhaitons donc pas en encourager l’usage.
L’ensemble des sujets abord´ es dans le pr´ esent ouvrage d´ epasse sans aucun doute
le volume pouvant ˆ etre trait´ e en une seule ann´ ee de cours – mˆ eme si jadis nous
avions pu en enseigner l’essentiel au cours de la seule ann´ ee de Licence. Dans les
conditions actuelles, il nous paraˆ ıt plus judicieux d’envisager une r´ epartition du
contenu sur l’ensemble des deux ann´ ees du second cycle universitaire. Ce texte
est probablement utilisable aussi pour les ´ el` eves d’´ ecoles d’ing´ enieurs, ou comme
ouvrage de synth` ese au niveau de l’agr´ egation de math´ ematiques. Pour guider
le lecteur dans sa s´ election, les sous-sections de chapitres les plus difficiles ainsi
que les d´ emonstrations les plus d´ elicates sont marqu´ ees d’un ast´ erisque. Le lecteur
pourra trouver de nombreux exemples de trac´ es graphiques de solutions d’´ equations
diff´ erentielles dans le livre d’Artigue-Gautheron : on y trouvera en particulier des
illustrations vari´ ees des ph´ enom` enes qualitatifs ´ etudi´ es au chapitre X, concernant
les points singuliers des champs de vecteurs.
Je voudrais ici remercier mes coll` egues grenoblois pour les remarques et am´ eliorations constantes sugg´ er´ ees tout au long de notre collaboration pendant les trois
ann´ ees qu’a dur´ e ce cours. Mes plus vifs remerciements s’adressent ´ egalement
` a Mich` ele Artigue, Alain Dufresnoy, Jean-Ren´ e Joly et Marc Rogalski, qui ont
bien voulu prendre de leur temps pour relire le manuscrit original de mani` ere tr` es
d´ etaill´ ee. Leurs critiques et suggestions ont beaucoup contribu´ e ` a la mise en forme
d´ efinitive de cet ouvrage.
Saint-Martin d’H` eres, le 5 novembre 1990
La seconde ´ edition de cet ouvrage a b´ en´ efici´ e d’un bon nombre de remarques et de suggestions
propos´ ees par Marc Rogalski. Les modifications apport´ ees concernent notamment le d´ ebut du
chapitre VIII, o` u la notion d´ elicate d’erreur de consistance a ´ et´ e plus clairement explicit´ ee, et
les exemples des chapitres VI et XI traitant du mouvement du pendule simple. L’auteur tient ` a
remercier de nouveau Marc Rogalski pour sa pr´ ecieuse contribution.
Saint-Martin d’H` eres, le 26 septembre 1996
La troisi` eme ´ edition de cet ouvrage a ´ et´ e enrichie d’un certain nombre de compl´ ements th´ eoriques et
pratiques : comportement g´ eom´ etrique des suites it´ eratives en dimension 1, th´ eor` eme des fonctions
implicites et ses variantes g´ eom´ etriques dans le chapitre IV ; crit` ere de maximalit´ e des solutions
dans le chapitre V ; calcul de g´ eod´ esiques dans le chapitre VI ; quelques exemples et exercices
additionnels dans les chapitres suivants ; notions ´ el´ ementaires sur les flots de champs de vecteurs
dans le chapitre XI.
Saint-Martin d’H` eres, le 28 f´ evrier 2006