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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Notons que si N ≥ 1, la fonction (x, t) → (x − t)
N
+ est continue sur [α, β] × [α, β],
donc K N est continue sur [α, β]. Ceci n’est pas vrai en g´ en´ eral si N = 0.
Corollaire 1 – On a la majoration
E(f ) ≤
1
N !
f
(N +1)
∞ ·
β
α
|K N (t)|dt.
Corollaire 2 – On suppose que K N est de signe constant.
Alors pour toute f ∈ C
N +1 ([α, β]) il existe ξ ∈ ]α, β[ tel que
E(f ) =
1
N !
f
(N +1) (ξ)
β
α
K N (t)dt.
De plus
β
α
K N (t)dt =
1
N +1 E(x → x
N +1 ), donc
E(f ) =
1
(N + 1)!
f
(N +1) (ξ) E(x → x
N +1 ).
D´ emonstration. La premi` ere ´ egalit´ e r´ esulte du th´ eor` eme et de la formule de la
moyenne appliqu´ ee ` a la fonction f
(N +1) et au poids w = K N (ou w = −K N si
K N ≤ 0). La deuxi` eme ´ egalit´ e s’obtient en prenant
f (x) = x
N +1 , qui donne f
(N +1) (x) = (N + 1)!.
La troisi` eme d´ ecoule des 2 premi` eres.
¾º¿º ÜÜÑÔÐÐ×
On verra au § 2.4 comment on peut d´ eduire le noyau de Peano d’une m´ ethode
compos´ ee de celui de la m´ ethode ´ el´ ementaire utilis´ ee. On se contentera donc ici de
regarder le cas des m´ ethodes ´ el´ ementaires sur l’intervalle de r´ ef´ erence [−1, 1].
• M´ ethode du point milieu
E(f ) =
1
−1
f (x)dx − 2f (0).
Cette m´ ethode est d’ordre 1, le noyau de Peano est donn´ e par :
K 1 (t) = E
x → (x − t) +
=
1
−1
(x − t) + dx − 2(−t) +
=
1
t
(x − t)dx − 2t −
=
1
2
(x − t)
2
1
t
− 2t − =
1
2
(1 − t)
2
− 2t − .