III – Int´ egration num´ erique
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¾º¾º ÆÓÝÙ ÈÈÈÒÓ
En vue de l’´ etude des m´ ethodes de Gauss au § 3, on se place ici dans une situation
un peu plus g´ en´ erale.
Situation ´ etudi´ ee – On se donne un poids w sur ]α, β[, c’est-` a-dire une
fonction continue > 0 telle que
β
α
w(x)dx converge. On cherche ` a ´ evaluer l’int´ egrale
β
α
f (x)w(x)dx par une formule approch´ ee
β
α
f (x)w(x)dx
l
j=0
λ j f (x j ), x j ∈ [α, β].
On notera que les formules du § 1 rentrent dans ce cadre (avec w ≡ 1); en g´ en´ eral,
on a
λ j = 1. L’erreur due `
a la m´ ethode est donn´ ee par :
E(f ) =
β
α
f (x)w(x)dx −
l
j=0
λ j f (x j ).
Th´ eor` eme et d´ efinition – On suppose que la m´ ethode est d’ordre N ≥ 0. Si
f est de classe C
N +1 sur [α, β], alors
E(f ) =
1
N !
β
α
K N (t)f
(N +1) (t)dt,
o` u K N est une fonction sur [α, β], appel´ ee noyau de Peano associ´ e ` a la m´ ethode,
d´ efinie par
K N (t) = E
x → (x − t)
N
+
, t ∈ [α, β].
D´ emonstration. On observe d’abord que f → E(f ) est une forme lin´ eaire sur
C([α, β]). Si g : (x, t) → g(x, t) est une fonction int´ egrable sur [α, β] × I, le th´ eor` eme
de Fubini implique par ailleurs
E
x →
t∈I
g(x, t)dt
=
t∈I
E
x → g(x, t)
dt.
La formule de Taylor avec reste int´ egral donne
f (x) = p N (x) +
β
α
1
N !
(x − t)
N
+ f
(N +1) (t)dt.
Comme p N ∈ P N , on a E(p N ) = 0 par hypoth` ese, d’o` u
E(f ) = E
x →
β
α
1
N !
(x − t)
N
+ f
(N +1) (t)dt
=
β
α
E
x →
1
N !
(x − t)
N
+ f
(N +1) (t)
dt
=
β
α
1
N !
f
(N +1) (t) · E
x → (x − t)
N
+
dt
=
1
N !
β
α
K N (t)f
(N +1) (t)dt.