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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Si la formule est vraie `
a l’ordre N − 1, le reste int´ egral s’´ ecrit, apr` es int´ egration par
parties :
x
α
1
(N − 1)!
(x − t)
N −1 f
(N ) (t)dt
=
−
1
N !
(x − t)
N f
(N ) (t)
x
α
−
x
α
−
1
N !
(x − t)
N f
(N +1) (t)dt
=
1
N !
(x − α)
N f
(N ) (α) +
x
α
1
N !
(x − t)
N f
(N +1) (t)dt.
La formule est donc encore vraie `
a l’ordre N .
Notons x + = max (x, 0) = x si x ≥ 0, x + = 0 si x ≤ 0. Avec la convention x
0
+ = 1
si x ≥ 0, x
0
+ = 0 si x < 0, la formule se r´ ecrit
f (x) = p N (x) +
β
α
1
N !
(x − t)
N
+ f
(N +1) (t)dt
o` u p N est le polynˆ ome de Taylor de f d’ordre N au point α.
Formule de la moyenne – Soit w ≥ 0 une fonction int´ egrable sur ]α, β[ telle
que
β
α
w(x)dx converge. Alors pour toute f ∈ C([α, β]), il existe un point ξ ∈ ]α, β[
tel que
β
α
f (x)w(x)dx = f (ξ)
β
α
w(x)dx.
D´ emonstration. Soient m, M respectivement le minimum et le maximum de f
sur [α, β]. Comme w ≥ 0, il vient
m
β
α
w(x)dx ≤
β
α
f (x)w(x)dx ≤ M
β
α
w(x)dx
Si
β
α
w(x)dx = 0, le r´ esultat est vrai pour ξ quelconque. Supposons donc
β
α
w(x)dx > 0 et soit alors q le quotient
q =
β
α
f (x)w(x)dx
β
α
w(x)dx ∈ [m, M ].
Le th´ eor` eme des valeurs interm´ ediaires montre que f (]α, β[) est un intervalle ayant
pour bornes m, M . Si q ∈ ]m, M [, il existe donc ξ ∈ ]α, β[ tel que q = f (ξ). Restent
les cas q = m et q = M . Si q = m et si f (ξ) > m pour tout ξ ∈ ]α, β[, alors
β
α
(f (x) − m)w(x)dx > 0
puisque
β
α
w(x)dx > 0, ce qui est contradictoire. Il existe donc dans ce cas ξ ∈ ]α, β[
tel que f (ξ) = m. Le cas q = M est analogue.