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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
½º¿º ÁÒÒÐÙÙÒÒÒ × ÖÖÖÙÖ× ³³ÖÖÓÒÒÒ
Supposons que les valeurs de f soient calcul´ ees avec des erreurs d’arrondi de
valeur absolue ≤ ε. L’erreur qui va en r´ esulter par application d’une m´ ethode
de quadrature compos´ ee sera major´ ee par
ε
k−1
i=0
(α i+1 − α i )
li
j=0
|ω i,j |.
Si les coefficients ω i,j sont ≥ 0, on a
li
j=0
|ω i,j | =
li
j=0
ω i,j = 1.
L’erreur est donc major´ ee par ε(β − α); ce r´ esultat est manifestement optimal
puisque le calcul exact de
β
α
f (x)dx peut conduire `
a une erreur ε(β − α) si l’erreur
sur f est constante de valeur absolue ε.
Si par contre les coefficients ω i,j ne sont pas tous ≥ 0, alors
j |ω i,j | >
j ω i,j = 1,
donc l’erreur due aux arrondis des f (ξ i,j ) peut d´ epasser ε(β − α).
½ººº ÓÒÚÚÖÒÒÒ ÕÙÙÒÒ ÐÐ ÒÓÑÑÖÖ k ×ÙÙÙÙÚÚ××ÓÒ× ØØÒÒ ÚÚÖ× +∞
Le r´ esultat th´ eorique suivant de convergence justifie en partie l’int´ erˆ et des m´ ethodes
compos´ ees.
Th´ eor` eme – On suppose que les m´ ethodes de quadrature ´ el´ ementaire font
intervenir un nombre de points l i = l fixe et que les coefficients ω i,j = ω j ne
d´ ependent pas de i, k. Alors l’approximation donn´ ee par la m´ ethode compos´ ee, soit
T k (f ) =
k−1
i=0
(α i+1 − α i )
l
j=0
ω j f (ξ i,j )
converge vers
β
α
f (x)dx quand k → +∞ et quand le maximum du pas, `
a savoir
h max = max (α i+1 − α i ), tend vers 0.
D´ emonstration. On peut ´ ecrire T k (f ) =
l
j=0 ω j S j,k (f ) o` u
S j,k (f ) =
k−1
i=0
(α i+1 − α i )f (ξ i,j )
est une somme de Riemann de f relative `
a la subdivision (α i ). Pour tout
j = 0, 1, . . . , l fix´ e, S j,k (f ) converge vers
β
α
f (x)dx quand h max tend vers 0. Par
cons´ equent T k (f ) converge aussi vers
β
α
f (x)dx quand h max tend vers 0.
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
½º¿º ÁÒÒÐÙÙÒÒÒ × ÖÖÖÙÖ× ³³ÖÖÓÒÒÒ
Supposons que les valeurs de f soient calcul´ ees avec des erreurs d’arrondi de
valeur absolue ≤ ε. L’erreur qui va en r´ esulter par application d’une m´ ethode
de quadrature compos´ ee sera major´ ee par
ε
k−1
i=0
(α i+1 − α i )
li
j=0
|ω i,j |.
Si les coefficients ω i,j sont ≥ 0, on a
li
j=0
|ω i,j | =
li
j=0
ω i,j = 1.
L’erreur est donc major´ ee par ε(β − α); ce r´ esultat est manifestement optimal
puisque le calcul exact de
β
α
f (x)dx peut conduire `
a une erreur ε(β − α) si l’erreur
sur f est constante de valeur absolue ε.
Si par contre les coefficients ω i,j ne sont pas tous ≥ 0, alors
j |ω i,j | >
j ω i,j = 1,
donc l’erreur due aux arrondis des f (ξ i,j ) peut d´ epasser ε(β − α).
½ººº ÓÒÚÚÖÒÒÒ ÕÙÙÒÒ ÐÐ ÒÓÑÑÖÖ k ×ÙÙÙÙÚÚ××ÓÒ× ØØÒÒ ÚÚÖ× +∞
Le r´ esultat th´ eorique suivant de convergence justifie en partie l’int´ erˆ et des m´ ethodes
compos´ ees.
Th´ eor` eme – On suppose que les m´ ethodes de quadrature ´ el´ ementaire font
intervenir un nombre de points l i = l fixe et que les coefficients ω i,j = ω j ne
d´ ependent pas de i, k. Alors l’approximation donn´ ee par la m´ ethode compos´ ee, soit
T k (f ) =
k−1
i=0
(α i+1 − α i )
l
j=0
ω j f (ξ i,j )
converge vers
β
α
f (x)dx quand k → +∞ et quand le maximum du pas, `
a savoir
h max = max (α i+1 − α i ), tend vers 0.
D´ emonstration. On peut ´ ecrire T k (f ) =
l
j=0 ω j S j,k (f ) o` u
S j,k (f ) =
k−1
i=0
(α i+1 − α i )f (ξ i,j )
est une somme de Riemann de f relative `
a la subdivision (α i ). Pour tout
j = 0, 1, . . . , l fix´ e, S j,k (f ) converge vers
β
α
f (x)dx quand h max tend vers 0. Par
cons´ equent T k (f ) converge aussi vers
β
α
f (x)dx quand h max tend vers 0.