III – Int´ egration num´ erique
63
formules
αi+1
αi
f (x)dx (α i+1 − α i )
l
j=0
ω j f (ξ i,j ),
β
α
f (x)dx
k−1
i=0
(α i+1 − α i )
l
j=0
ω j f (ξ i,j ).
Si f ∈ P l , alors p l = f , donc la m´ ethode de Newton-Cotes de rang l est d’ordre ≥ l.
De plus, lorsque f ∈ C[−1, 1]) est un polynˆ ome impair, on a
1
−1
f (x)dx = 0 = 2
l
j=0
ω j f (τ j ).
Si l est pair, les formules sont donc encore exactes pour f (x) = x
l+1 , et plus
g´ en´ eralement pour f ∈ P l+1 par lin´ earit´ e. On d´ emontre en fait le r´ esultat suivant
que nous admettrons :
Proposition – Si l est pair, l’ordre de NC l est l + 1,
si l est impair, l’ordre de NC l est l.
Ceci fait que, hormis le cas l = 1, les m´ ethodes de Newton-Cotes ne sont utilis´ ees
que pour l pair :
• l = 1 : m´ ethode des trap` ezes (ordre 1)
ω 0 = ω 1 =
1
2
• l = 2 : m´ ethode de Simpson (ordre 3)
ω 0 = ω 2 =
1
6
, ω 1 =
2
3
.
• l = 4 : m´ ethode de Boole-Villarceau (ordre 5)
ω 0 = ω 4 =
7
90
, ω 1 = ω 3 =
16
45
, ω 2 =
2
15
• l = 6 : m´ ethode de Weddle-Hardy (ordre 7)
ω 0 = ω 6 =
41
840
, ω 1 = ω 5 =
9
35
, ω 2 = ω 4 =
9
280
, ω 3 =
34
105
.
Pour l ≥ 8, il apparaˆ ıt des coefficients ω j < 0, ce qui a pour effet de rendre les
formules beaucoup plus sensibles aux erreurs d’arrondis (cf. § 1.3). Les m´ ethodes
NC l ne sont donc utilis´ ees en pratique que dans les 4 cas ci-dessus.
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formules
αi+1
αi
f (x)dx (α i+1 − α i )
l
j=0
ω j f (ξ i,j ),
β
α
f (x)dx
k−1
i=0
(α i+1 − α i )
l
j=0
ω j f (ξ i,j ).
Si f ∈ P l , alors p l = f , donc la m´ ethode de Newton-Cotes de rang l est d’ordre ≥ l.
De plus, lorsque f ∈ C[−1, 1]) est un polynˆ ome impair, on a
1
−1
f (x)dx = 0 = 2
l
j=0
ω j f (τ j ).
Si l est pair, les formules sont donc encore exactes pour f (x) = x
l+1 , et plus
g´ en´ eralement pour f ∈ P l+1 par lin´ earit´ e. On d´ emontre en fait le r´ esultat suivant
que nous admettrons :
Proposition – Si l est pair, l’ordre de NC l est l + 1,
si l est impair, l’ordre de NC l est l.
Ceci fait que, hormis le cas l = 1, les m´ ethodes de Newton-Cotes ne sont utilis´ ees
que pour l pair :
• l = 1 : m´ ethode des trap` ezes (ordre 1)
ω 0 = ω 1 =
1
2
• l = 2 : m´ ethode de Simpson (ordre 3)
ω 0 = ω 2 =
1
6
, ω 1 =
2
3
.
• l = 4 : m´ ethode de Boole-Villarceau (ordre 5)
ω 0 = ω 4 =
7
90
, ω 1 = ω 3 =
16
45
, ω 2 =
2
15
• l = 6 : m´ ethode de Weddle-Hardy (ordre 7)
ω 0 = ω 6 =
41
840
, ω 1 = ω 5 =
9
35
, ω 2 = ω 4 =
9
280
, ω 3 =
34
105
.
Pour l ≥ 8, il apparaˆ ıt des coefficients ω j < 0, ce qui a pour effet de rendre les
formules beaucoup plus sensibles aux erreurs d’arrondis (cf. § 1.3). Les m´ ethodes
NC l ne sont donc utilis´ ees en pratique que dans les 4 cas ci-dessus.