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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
0
α
α i α i+1
β
x
y
L’ordre de cette m´ ethode est 1 comme dans le cas pr´ ec´ edent.
(c) M´ ethodes de Newton-Cotes
Dans la m´ ethode de Newton-Cotes de rang l, qu’on d´ esignera dans la suite par NC l ,
on prend l i = l pour tout i, et les points ξ i,j , 0 ≤ j ≤ l, sont les points ´ equidistants
ξ i,j = α i + j
α i+1 − α i
l
divisant [α i , α i+1 ] en l sous-intervalles ´ egaux. Pour d´ eterminer la formule de
quadrature ´ el´ ementaire, on se ram` ene par changement de variable `
a l’intervalle
[α i , α i+1 ] = [−1, 1], subdivis´ e par les points τ j = −1 + j
2
l . Le polynˆ ome
d’interpolation d’une fonction f ∈ C([−1, 1]) est donn´ e par
p l (x) =
l
j=0
f (τ j )L j (x)
avec L j (x) =
k =j
x − τ k
τ j − τ k
. On a donc
1
−1
f (x)dx
1
−1
p l (x)dx = 2
l
j=0
ω j f (τ j )
avec ω j =
1
2
1
−1
L j (x)dx. Par suite de la sym´ etrie des points τ j autour de 0, on a
τ l−j = −τ j , L l−j (x) = L j (−x), ω l−j = ω j .
Pour l = 2 par exemple, il vient
τ 0 = −1, τ 1 = 0, τ 2 = 1, L 1 (x) = 1 − x
2 , ω 1 =
1
2
1
−1
(1 − x
2 )dx =
2
3
,
d’o` u ω 0 = ω 2 =
1
2 (1 − ω 1 ) =
1
6 . Apr` es changement de variable, les coefficients
ω j restent inchang´ es (le lecteur le v´ erifiera `
a titre d’exercice), donc on obtient les