III – Int´ egration num´ erique
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y
0
α
α i α i+1 β
x
ξ i = α i
y
0
α
α i α i+1 β
x
ξ i = α i+1
Ces m´ ethodes sont d’ordre 0.
• ξ i =
αi+αi+1
2
: m´ ethode du point milieu
0
α i
ξ i
α i+1
x
y
f (ξ i )
L’aire du rectangle co¨ ıncide avec l’aire du trap` eze indiqu´ e en gris´ e. La formule
approch´ ee est donc exacte si f est une fonction affine, par suite la m´ ethode est
d’ordre 1.
(b) Cas d’une interpolation lin´ eaire : on choisit
l i = 1, ∀i, ξ i,0 = α i , ξ i,1 = α i+1
et on remplace f sur [α i , α i+1 ] par la fonction lin´ eaire p 1 qui interpole f aux points
α i , α i+1 :
p 1 (x) =
(x − α i )f (α i+1 ) − (x − α i+1 )f (α i )
α i+1 − α i
.
On obtient les formules suivantes, correspondant `
a la m´ ethode dite des trap` ezes :
αi+1
αi
f (x)dx
αi+1
αi
p 1 (x)dx = (α i+1 − α i )
1
2
f (α i ) +
1
2
f (α i+1 )
β
α
f (x)dx
k−1
i=0
(α i+1 − α i )
1
2
f (α i ) +
1
2
f (α i+1 )