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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
La sommation peut ˆ etre interpr´ et´ ee comme une valeur moyenne de f sur [α, α i+1 ].
Le probl` eme est de choisir convenablement les points ξ i,j et les coefficients ω i,j
de fa¸ con ` a minimiser l’erreur. Ceci se fera en g´ en´ eral en ´ evaluant l’int´ egrale
αi+1
αi
f (x)dx au moyen d’une interpolation de f aux points ξ i,j .
La m´ ethode de quadrature compos´ ee associ´ ee sera
β
α
f (x)dx
k−1
i=0
(α i+1 − α i )
li
j=0
ω i,j f (ξ i,j )
D´ efinition – On dit qu’une m´ ethode de quadrature (´ el´ ementaire ou compos´ ee)
est d’ordre N si la formule approch´ ee est exacte pour tout f ∈ P N et inexacte pour
au moins un f ∈ P N +1 .
On observera que les formules sont toujours exactes pour f (x) = 1 `
a cause de
l’hypoth` ese
j ω i,j = 1. Par lin´ earit´ e, elles sont donc exactes au moins pour
f ∈ P 0 .
½º¾º ÜÜÑÔÐÐ×
(a) Cas le plus simple : l i = 0, quel que soit i.
On choisit alors un seul point ξ i ∈ [α i , α i+1 ] et on remplace f sur [α i , α i+1 ] par le
polynˆ ome de degr´ e 0 : p 0 (x) = f (ξ i ). On a alors
αi+1
αi
f (x)dx (α i+1 − α i )f (ξ i ),
β
α
f (x)dx
k−1
i=0
(α i+1 − α i )f (ξ i ),
c’est-` a-dire qu’on approxime l’int´ egrale par une somme de Riemann relative ` a la
subdivision (α i ). Voici les choix les plus courants :
• ξ i = α i : m´ ethode des rectangles ` a gauche
β
α
f (x)dx
k−1
i=0
(α i+1 − α i )f (α i ).
• ξ i = α i+1 : m´ ethode des rectangles ` a droite
β
α
f (x)dx
k−1
i=0
(α i+1 − α i )f (α i+1 ).