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ÖÖØØÓÒ ÒÙÑ
ÖÖÕÙÙ
L’objet de ce chapitre est de d´ ecrire quelques m´ ethodes num´ eriques classiques
(Newton-Cotes, Gauss, Romberg) permettant d’´ evaluer des int´ egrales de fonctions
dont les valeurs sont connues en un nombre fini de points. On s’attachera `
a expliciter
le plus compl` etement possible les formules d’erreurs dans chacun des cas.
½º Å ØØÓÓÓ× ÕÙÙÙÖÖØÙÖÖ
Ð ÑÑÒØÖÖ× Ø ÓÑÔÓ× ×
½º½º ÈÖÖÒÒÒÔÔ × Ñ ØØÓÓÓ× ÒÙÑ ÖÖÕÙÙ×
Soit f : [α, β] → R une fonction continue. On se propose de chercher des formules
approch´ ees pour l’int´ egrale
β
α
f (x)dx. Pour cela, on choisit d’abord une subdivision
α = α 0 < α 1 < . . . < α k = β
de l’intervalle [α, β]. La formule de Chasles donne
β
α
f (x)dx =
k−1
i=0
αi+1
αi
f (x)dx.
On est donc ramen´ e au probl` eme d’´ evaluer l’int´ egrale de f sur un petit intervalle
[α i , α i+1 ]. Ce calcul est effectu´ e au moyen de formules approch´ ees (qui peuvent
ˆ etre a priori diff´ erentes sur chacun des intervalles [α i , α i+1 ]), appel´ ees m´ ethodes de
quadrature ´ el´ ementaires, du type suivant :
M´ ethodes de quadrature ´ el´ ementaires
αi+1
αi
f (x)dx (α i+1 − α i )
li
j=0
ω i,j f (ξ i,j ),
o` u ξ i,j ∈ [α i , α i+1 ], 0 ≤ j ≤ l i et
li
j=0 ω i,j = 1.