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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
(a) Soit f ∈ C([a, b], R) telle que φ(f ) = 0. Montrer que pour tout i il existe
ξ i ∈ [x i , x
i ] tel que f (ξ i ) = 0.
(b) Montrer que la restriction φ : P n → R
n+1 de φ ` a l’espace P n des polynˆ omes de
degr´ e ≤ n est injective. En d´ eduire que pour tout f ∈ C([a, b]), R) il existe un
unique polynˆ ome P n ∈ P tel que φ(p n ) = φ(f ).
(c) On suppose ici que f est de classe C
n+1 . En utilisant (a), majorer p n − f ∞
en fonction de f
(n+1) et b − a.
(d) Calculer explicitement p 2 en fonction de m 0 (f ), m 1 (f ), m 2 (f ) pour la subdivision x 0 < x
0 < x 1 < x
1 < x 2 < x
2 de [a, b] = [−1, 1] de pas constant
2
5 .
6.2. On note t n le polynˆ ome de Tchebychev de degr´ e n et c un r´ eel tel que |c| < 1.
(a) Montrer qu’il existe une fonction continue ψ ` a valeurs r´ eelles, d´ efinie sur [0, π]
avec ψ(0) = ψ(π) = 0 et v´ erifiant
e
iψ(θ) =
1 − ce
−iθ
1 − ce iθ .
(b) Pour n ∈ N on note g(θ) = (n + 1)θ + ψ(θ).
(α) Soit θ 1 = π. Calculer g(θ 1 ) − nπ et g(0) − nπ.
En d´ eduire qu’il existe θ 2 v´ erifiant 0 < θ 2 < θ 1 et g(θ 2 ) = nπ.
(β) Montrer qu’il existe une suite strictement d´ ecroissante θ k de [0, π] telle que
g(θ k ) = (n − k + 2)π pour k = 1, . . . n + 2.
(γ) On note ϕ n (x) = Re
e
i(n+1)θ 1−ce
−iθ
1−ce iθ
avec θ = Arc cos x, x ∈ [−1, 1].
Calculer ϕ n . Montrer que ϕ n ´ equioscille sur n + 2 points de [−1, 1].
(c) (α) Montrer que la s´ erie −
1
2 +
+∞
k=0 c
k t k (x) converge uniform´ ement sur [−1, 1]
vers une fonction f c (x) que l’on explicitera.
(β) On note p n (x) = −
1
2
+
n−1
k=0
c
k t k (x) +
c
n
1 − c 2 t n (x).
Montrer que p n est le polynˆ ome de meilleure approximation uniforme de
degr´ e n de f c . Calculer f c − p n .
(d) (α) Montrer que l’on peut choisir c et λ tels que pour tout x ∈ [0, 1] on ait
f c (2x − 1) =
λ
1+x .
(β) Montrer qu’il existe une suite de polynˆ omes q n de P n tels que la suite
α n = Sup x∈[0,1]
1
1 + x
− q n (x)
v´ erifie pour tout k ∈ N, lim
n→+∞
n
k α n = 0.