II – Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques
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6.3. Soit f : [a, b] → R une fonction continue, ind´ efiniment d´ erivable sur ]a, b[.
Soient x 0 , x 1 , . . . , x n ∈ [a, b]. Pour chaque i ∈ {0, 1, . . . , n}, soit α i un entier
positif.
On cherche un polynˆ ome P (x) de degr´ e < β =
(α i + 1) tel que :
P
(j) (x i ) = f
(j) (x i ) pour i = 0, 1, . . . , n et j = 0, 1, . . . , α i ,
o` u (j) d´ esigne l’ordre de d´ erivation.
(a) D´ emontrer l’unicit´ e de P , puis son existence grˆ ace ` a un raisonnement d’alg` ebre
lin´ eaire.
(b) On suppose P solution du probl` eme. Soient R i (x) et p i (x) des polynˆ omes
v´ erifiant les relations
R i (x) = p i (x) + (x − x i )
αi+1 R i+1 (x), deg p i ≤ α i ,
R 0 (x) = P (x), R n+1 (x) = 0.
(α) Montrer que
p
(j)
i (x i ) = R
(j)
i (x i ) pour j = 0, 1, . . . , α i .
(β) Montrer que l’on peut ´ ecrire p i (x) sous la forme :
p i (x) =
αi
k=0
a ik (x − x i )
k .
Calculer les coefficients a ik en fonction de R
(k)
i (x i ).
(γ) Montrer que P (x) peut s’´ ecrire :
P (x) = p 0 (x) +
n
i=1
p i (x)
i−1
r=0
(x − x r )
αr+1
.
(δ) Indiquer une m´ ethode de r´ ecurrence pour calculer p 0 (x), puis R 1 (x) et
a 1k , . . ., puis R j (x) et a jk en fonction de f et de ses d´ eriv´ ees f
(j) (x i ).
Montrer que l’on peut ainsi calculer P (x) en fonction des donn´ ees du
probl` eme.
(ε) Que se passe-t-il dans le cas particulier o` u n = 0 ?
(c) On suppose que les α i sont rang´ es par ordre croissant. Montrer qu’il existe
t ∈ [a, b] tel que :
f (x) = P (x) + (x − x 0 )
α0+1 (x − x 1 )
α1+1 . . . (x − x n )
αn+1 f
(β) (t)
β!
Indication : on pourra consid´ erer la fonction
g(x) = f (x) − P (x) − (x − x 0 )
α0+1 . . . (x − x n )
αn+1 K,
et examiner combien de fois s’annulent g(x), g
(x) . . ., g
(α0) (x), . . ., g
(αn) (x), . . . ,
g
(β) (x).
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6.3. Soit f : [a, b] → R une fonction continue, ind´ efiniment d´ erivable sur ]a, b[.
Soient x 0 , x 1 , . . . , x n ∈ [a, b]. Pour chaque i ∈ {0, 1, . . . , n}, soit α i un entier
positif.
On cherche un polynˆ ome P (x) de degr´ e < β =
(α i + 1) tel que :
P
(j) (x i ) = f
(j) (x i ) pour i = 0, 1, . . . , n et j = 0, 1, . . . , α i ,
o` u (j) d´ esigne l’ordre de d´ erivation.
(a) D´ emontrer l’unicit´ e de P , puis son existence grˆ ace ` a un raisonnement d’alg` ebre
lin´ eaire.
(b) On suppose P solution du probl` eme. Soient R i (x) et p i (x) des polynˆ omes
v´ erifiant les relations
R i (x) = p i (x) + (x − x i )
αi+1 R i+1 (x), deg p i ≤ α i ,
R 0 (x) = P (x), R n+1 (x) = 0.
(α) Montrer que
p
(j)
i (x i ) = R
(j)
i (x i ) pour j = 0, 1, . . . , α i .
(β) Montrer que l’on peut ´ ecrire p i (x) sous la forme :
p i (x) =
αi
k=0
a ik (x − x i )
k .
Calculer les coefficients a ik en fonction de R
(k)
i (x i ).
(γ) Montrer que P (x) peut s’´ ecrire :
P (x) = p 0 (x) +
n
i=1
p i (x)
i−1
r=0
(x − x r )
αr+1
.
(δ) Indiquer une m´ ethode de r´ ecurrence pour calculer p 0 (x), puis R 1 (x) et
a 1k , . . ., puis R j (x) et a jk en fonction de f et de ses d´ eriv´ ees f
(j) (x i ).
Montrer que l’on peut ainsi calculer P (x) en fonction des donn´ ees du
probl` eme.
(ε) Que se passe-t-il dans le cas particulier o` u n = 0 ?
(c) On suppose que les α i sont rang´ es par ordre croissant. Montrer qu’il existe
t ∈ [a, b] tel que :
f (x) = P (x) + (x − x 0 )
α0+1 (x − x 1 )
α1+1 . . . (x − x n )
αn+1 f
(β) (t)
β!
Indication : on pourra consid´ erer la fonction
g(x) = f (x) − P (x) − (x − x 0 )
α0+1 . . . (x − x n )
αn+1 K,
et examiner combien de fois s’annulent g(x), g
(x) . . ., g
(α0) (x), . . ., g
(αn) (x), . . . ,
g
(β) (x).