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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
f
r n
0
P n
E
Puisqu’on travaille dans un espace euclidien, le point de P n le plus proche de f n’est
autre que la projection orthogonale de f sur P n . Si on ´ ecrit r n =
α k p k , il vient
f, p k = r n , p k = α k p k
2
2 , d’o` u la formule
r n (x) =
n
k=0
f, p k
p k 2
2
p k (x).
On va maintenant ´ etudier la convergence de r n quand n tend vers +∞. L’in´ egalit´ e
´ evidente
b
a
|f (x)|
2 w(x)dx ≤ (sup |f (x)|)
2
b
a
w(x)dx
entraˆ ıne
f 2 ≤ C w f , o` u C w =
b
a
w(x)dx
1/2
.
Ceci permet de contrˆ oler 2 ` a l’aide de la norme uniforme.
Th´ eor` eme 5 – Si ]a, b[ est born´ e, alors lim
n→+∞
f − r n 2 = 0 pour tout f ∈ E.
Remarque – Le th´ eor` eme 5 peut ˆ etre faux si ]a, b[ est non born´ e.
D´ emonstration
• Supposons d’abord que f ∈ C([a, b]). Dans ce cas, soit q n le polynˆ ome de meilleure
approximation uniforme de f . On a
f − r n 2 ≤ ≤f − q n 2 ≤ C w f − q n ,
et on sait que lim
n→+∞
f − q n = 0.
• Supposons maintenant f ∈ E quelconque. Soit χ α la fonction plateau d´ efinie par
le sch´ ema ci-dessous :