II – Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques
53
V´ erifions en effet que les polynˆ omes de Tchebychev t n sont 2 `
a 2 orthogonaux
relativement au poids w(x) = 1/
√
1 − x 2 . Le changement de variable x = cos θ,
θ ∈ [0, π] donne :
1
−1
t n (x)t k (x)
1
√
1 − x 2
dx =
π
0
t n (cos θ)t k (cos θ) dθ
=
π
0
cos nθ · cos kθ dθ =
0
si n = k
π
2
si n = k = 0.
π
si n = k = 0
Comme t n a pour coefficient directeur 2
n−1 si n ≥ 1, on en d´ eduit
p 0 (x) = t 0 (x) = 1
p n (x) = 2
1−n t n (x) si n ≥ 1.
On sait que t n a n z´ eros distincts dans ] − 1, 1[. On va voir que c’est une propri´ et´ e
g´ en´ erale des polynˆ omes orthogonaux.
Th´ eor` eme 3 – Pour tout poids w sur ]a, b[, le polynˆ ome p n poss` ede n z´ eros
distincts dans l’intervalle ]a, b[.
D´ emonstration. Soient x 1 , . . . , x k les z´ eros distincts de p n contenus dans ]a, b[
et m 1 , . . . , m k leurs multiplicit´ es respectives. On a m 1 + . . . + m k ≤ deg p n = n.
Posons ε i = 0 si m i est pair, ε i = 1 si m i est impair, et
q(x) =
k
i=1
(x − x i )
εi , deg q ≤ k ≤ n.
Le polynˆ ome p n q admet dans ]a, b[ les z´ eros x i avec multiplicit´ e paire m i + ε i , donc
p n q est de signe constant dans ]a, b[ \ {x 1 , . . . , x k }. Par cons´ equent
p n , q =
b
a
p n (x)q(x)w(x)dx = 0.
Comme p n est orthogonal `
a P n−1 , on a n´ ecessairement deg q = n, donc k = n et
m 1 = . . . = m k = 1.
Plusieurs m´ ethodes d’approximation de fonctions continues par des polynˆ omes ont
d´ ej` a ´ et´ e vues. En voici encore une autre.
Th´ eor` eme 4 – Soit f ∈ E. Alors il existe une unique polynˆ ome r n ∈ P n tel
que f − r n 2 = d 2 (f, P n ) ; r n est appel´ e polynˆ ome de meilleure approximation
quadratique de f ` a l’ordre n.
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V´ erifions en effet que les polynˆ omes de Tchebychev t n sont 2 `
a 2 orthogonaux
relativement au poids w(x) = 1/
√
1 − x 2 . Le changement de variable x = cos θ,
θ ∈ [0, π] donne :
1
−1
t n (x)t k (x)
1
√
1 − x 2
dx =
π
0
t n (cos θ)t k (cos θ) dθ
=
π
0
cos nθ · cos kθ dθ =
0
si n = k
π
2
si n = k = 0.
π
si n = k = 0
Comme t n a pour coefficient directeur 2
n−1 si n ≥ 1, on en d´ eduit
p 0 (x) = t 0 (x) = 1
p n (x) = 2
1−n t n (x) si n ≥ 1.
On sait que t n a n z´ eros distincts dans ] − 1, 1[. On va voir que c’est une propri´ et´ e
g´ en´ erale des polynˆ omes orthogonaux.
Th´ eor` eme 3 – Pour tout poids w sur ]a, b[, le polynˆ ome p n poss` ede n z´ eros
distincts dans l’intervalle ]a, b[.
D´ emonstration. Soient x 1 , . . . , x k les z´ eros distincts de p n contenus dans ]a, b[
et m 1 , . . . , m k leurs multiplicit´ es respectives. On a m 1 + . . . + m k ≤ deg p n = n.
Posons ε i = 0 si m i est pair, ε i = 1 si m i est impair, et
q(x) =
k
i=1
(x − x i )
εi , deg q ≤ k ≤ n.
Le polynˆ ome p n q admet dans ]a, b[ les z´ eros x i avec multiplicit´ e paire m i + ε i , donc
p n q est de signe constant dans ]a, b[ \ {x 1 , . . . , x k }. Par cons´ equent
p n , q =
b
a
p n (x)q(x)w(x)dx = 0.
Comme p n est orthogonal `
a P n−1 , on a n´ ecessairement deg q = n, donc k = n et
m 1 = . . . = m k = 1.
Plusieurs m´ ethodes d’approximation de fonctions continues par des polynˆ omes ont
d´ ej` a ´ et´ e vues. En voici encore une autre.
Th´ eor` eme 4 – Soit f ∈ E. Alors il existe une unique polynˆ ome r n ∈ P n tel
que f − r n 2 = d 2 (f, P n ) ; r n est appel´ e polynˆ ome de meilleure approximation
quadratique de f ` a l’ordre n.