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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Remarque – La suite p n ainsi construite n’est pas orthonorm´ ee en g´ en´ eral.
La suite normalis´ ee
p n =
1
pn2 p n est une base orthonorm´ ee de l’espace P des
polynˆ omes.
Th´ eor` eme 2 – Les polynˆ omes p n v´ erifient la relation de r´ ecurrence
p n (x) = (x − λ n )p n−1 (x) − µ n p n−2 (x), n ≥ 2
avec
λ n =
xp n−1 , p n−1
p n−1 2
2
, µ n =
p n−1
2
2
p n−2 2
2
.
D´ emonstration. Le polynˆ ome xp n−1 est unitaire de degr´ e n, donc on peut ´ ecrire
xp n−1 = p n +
n−1
k=0
α k p k ,
o` u xp n−1 , p k = α k p k
2
2 , 0 ≤ k ≤ n − 1. Par d´ efinition du produit scalaire, on a
xp n−1 , p k = p n−1 , xp k =
b
a
x p n−1 (x)p k (x)w(x) dx.
Si k ≤ n−3, xp k ∈ P n−2 , donc p n−1 , xp k = 0. Il y a donc au plus deux coefficients
non nuls :
α n−1 =
xp n−1 , p n−1
p n−1 2
2
= λ n , α n−2 =
p n−1 , xp n−2
p n−2 2
2
.
Or xp n−2 = p n−1 + q, q ∈ P n−2 , donc
p n−1 , xp n−2 = p n−1
2
2 + p n−1 , q = p n−1
2
2 ,
ce qui donne α n−2 = µ n et
xp n−1 = p n + λ n p n−1 + µ n p n−2 .
Exemples – Certains cas particuliers ont donn´ e lieu ` a des ´ etudes plus pouss´ ees.
Mentionnons entre autres les cas suivants :
• ]a, b[ = ]0, +∞[,
w(x) = e
−x ,
p n = polynˆ omes de Laguerre ;
• ]a, b[ = ] − ∞, +∞[, w(x) = e
−x
2 , p n = polynˆ omes de Hermite ;
• ]a, b[ = ] − 1, 1[,
w(x) = 1,
p n = polynˆ omes de Legendre ;
• ]a, b[ = ] − 1, 1[,
w(x) =
1
√
1−x 2 , p n = polynˆ omes de Tchebychev.