II – Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques
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Soit ]a, b[ un intervalle ouvert born´ e ou non dans R. On se donne un poids sur
]a, b[, c’est-` a-dire une fonction w : ]a, b[ → ]0, +∞[ continue. On suppose en outre
que pour tout entier n ∈ N l’int´ egrale
b
a
|x|
n w(x)dx est convergente ; c’est le cas
par exemple si ]a, b[ est born´ e et si
b
a
w(x)dx converge. Sous ces hypoth` eses, on
consid` ere l’espace vectoriel E des fonctions continues sur ]a, b[ telles que
f 2 =
b
a
|f (x)| 2 w(x)dx < +∞.
Grˆ ace aux hypoth` eses faites ci-dessus, E contient l’espace vectoriel des fonctions
polynˆ omes. L’espace E est muni d’un produit scalaire naturel
f, g =
b
a
f (x)g(x)w(x)dx,
et 2 est la norme associ´ ee ` a ce produit scalaire ; cette norme est appel´ ee norme
L
2 ou norme moyenne quadratique. On notera d 2 (f, g) = f − g 2 la distance
associ´ ee.
Th´ eor` eme 1 – Il existe une suite de polynˆ omes unitaires (p n ) n∈N , deg(p n ) = n,
orthogonaux 2 ` a 2 pour le produit scalaire de E. Cette suite est unique. Les
polynˆ omes p n sont appel´ es polynˆ omes orthogonaux pour le poids w.
D´ emonstration. On construit p n par r´ ecurrence ` a l’aide du proc´ ed´ e d’orthogonalisation de Schmidt. On a p 0 (x) = 1, puisque p 0 doit ˆ etre unitaire.
Supposons p 0 , p 1 , . . . , p n−1 d´ ej` a construits. Comme deg p i = i, ces polynˆ omes
forment une base de P n−1 . On peut donc chercher p n sous la forme
p n (x) = x
n
−
n−1
j=0
λ j,n p j (x).
La condition p n , p k = 0 pour k = 0, 1, . . . , n − 1 donne
p n , p k = 0 = x
n , p k −
n−1
j=0
λ j,n p j , p k
= x
n , p k − λ k,n p k
2
2 .
On a donc un et un seul choix possible, `
a savoir
λ k,n =
x
n , p k
p k 2
2
.