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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Exercice – Montrer inversement que
n
i=0
|l i (1)| =
1
n + 1
n
i=0
cotan
θ i
2
≥
2
π
π/2
θ0/2
cotan t dt ≥
2
π
ln (n).
D’apr` es le th´ eor` eme du § 4.1 et le th´ eor` eme de Jackson, on obtient pour tout
f ∈ C([a, b]) :
f − L n (f ) ≤ (1 + Λ n )d(f, P n ) ≤ C
ln (n) · ω f
b − a
n + 2
.
Corollaire – On suppose que f est lipschitzienne, c’est-` a-dire qu’il existe une
constante K ≥ 0 telle que ∀x, y ∈ [a, b] on ait |f (x) − f (y)| ≤ K(x − y).
Alors la suite L n (f ) des polynˆ omes d’interpolation de Tchebychev converge uniform´ ement vers f sur [a, b].
Sous ces hypoth` eses on a en effet ω f (t) ≤ Kt, donc
f − L n (f ) ≤ KC
(b − a)
ln (n)
n + 2
,
ce qui tend vers 0 quand n tend vers +∞.
Ces r´ esultats montrent que l’interpolation aux points de Tchebychev est consid´ erablement plus fiable que l’interpolation en des points ´ equidistants. Le sch´ ema
ci-dessous compare ` a titre d’exemple les polynˆ omes d’interpolation de degr´ e 6 associ´ es ` a la fonction f x (x) = 1/(x
2 + α
2 ) pour α =
√
8 (voir aussi le §2.3).
y
1/α
2
f α
−1
0
1
x
p n (n = 6)
Points d’interpolation :
´ equidistants
de Tchebychev