II – Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques
49
0
π/2
π
t
1
y
y =
2
π t
y = sin t
Pour t ∈
0,
π
2
on a sin t ≥
2
π t, or
θ − θ i
2
∈
−
π
2
,
π
2
, donc
sin
θ − θ i
2
≥
2
π
|θ − θ i |
2
.
Par ailleurs
θ+θi
2
∈
θi
2 ,
θi+π
2
avec
θi
2 ≤
π
2 et
θi+π
2
≥
π
2 , donc
sin
θ + θ i
2
≥ min
sin
θ i
2
, sin
θ i + π
2
= min
sin
θ i
2
, cos
θ i
2
.
Comme sin θ i = 2 sin
θi
2 cos
θi
2 ≤ 2 min
sin
θi
2 , cos
θi
2
, on obtient
|l i (cos θ)| ≤ π
| cos (n + 1)θ|
(n + 1)|θ − θ i |
.
(∗)
D’apr` es le th´ eor` eme des accroissements finis
cos (n + 1)θ = cos (n + 1)θ − cos (n + 1)θ i = (n + 1)(θ − θ i )(− sin ξ),
| cos (n + 1)θ| ≤ (n + 1)|θ − θ i |,
donc |l i (cos θ)| ≤ π, ∀θ ∈ [0, π] \{θ i }, et ceci est encore vrai par continuit´ e si θ = θ i .
Fixons θ ∈ [0, π] et soit θ j le point le plus proche de θ. Si on note h =
π
n+1 =
θ i+1 − θ i , alors on a
|θ − θ j | ≤
h
2
,
|θ − θ i | ≥ |θ j − θ i | − |θ − θ j | ≥ (|j − i| − 1)h.
L’in´ egalit´ e (∗) donne
n
i=0
|l i (cos θ)| ≤
π
(n + 1)h
j =i,i+1,i−1
1
|j − i| − 1
+ 3π,
d’o` u Λ n ≤ 2
1 +
1
2 + . . . +
1
n
+ 3π ≤ C ln (n).