48
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
ci-dessus donne ´ egalement une indication de la raison pour laquelle le ph´ enom` ene
de Runge se produit.
Exercice – Si x = a + sh avec s ∈ [k, k + 1], 0 ≤ k < n, montrer que
|l i (x)| ≤
(n−k)!(k+1)!
i!(n−i)!
≤
n!
i!(n−i)! . En d´ eduire que Λ n ≤ 2
n .
º¿º × × ÔÓÓÒØ× ³³ÒØØÖÔÓÐÐØØÓÒ ÌÌÌÌÌÝÝÝÝÚ
Il est facile de voir que la constante Λ n reste inchang´ ee si l’on effectue un changement
affine de coordonn´ ees x → αx+β. On se placera donc pour simplifier sur l’intervalle
[−1, 1]. Dans ce cas, comme π n+1 (x) = 2
−n t n+1 (x) d’apr` es le § 1.5, le polynˆ ome
d’interpolation d’une fonction f ∈ C([−1, 1]) est donn´ e par
P n (x) =
i=0
f (x i )l i (x)
avec
l i (x) =
π n+1 (x)
(x − x i )π
n+1 (x i )
=
t n+1 (x)
(x − x i )t
n+1 (x i )
.
Estimation de la constante de Lebesgue – On peut montrer que
Λ n ∼
2
π
ln (n) quand n → +∞.
Nous nous contenterons de v´ erifier que Λ n ≤ C ln (n), o` u C est une constante
positive, et laisserons au lecteur l’initiative de raffiner la m´ ethode pour obtenir le
r´ esultat plus pr´ ecis ci-dessus. Posons
x = cos θ, x i = cos θ i o` u θ i =
2i + 1
2n + 2
π, 0 ≤ i ≤ n.
La relation t n+1 (cos θ) = cos (n + 1)θ entraˆ ıne par d´ erivation
sin θ t
n+1 (cos θ) = (n + 1) sin (n + 1)θ.
Comme sin (n + 1) θ i = sin (2i + 1)
π
2 = (−1)
i , il vient
t
n+1 (x i ) = (n + 1)
(−1)
i
sin θ i
,
l i (cos θ) =
(−1)
i sin θ i cos (n + 1)θ
(n + 1)(cos θ − cos θ i )
,
|l i (cos θ)| =
| sin θ i cos (n + 1) θ|
(n + 1)| cos θ − cos θ i |
.
Minorons la quantit´ e
cos θ − cos θ i = −2 sin
θ − θ i
2
sin
θ + θ i
2
.