II – Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques
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´ egalement li´ ee au probl` eme de la convergence des polynˆ omes d’interpolation, grˆ ace
` a l’in´ egalit´ e suivante :
Th´ eor` eme – Pour tout f ∈ C([a, b]), on a
f − L n (f ) ≤ (1 + Λ n )d(f, P n ).
D´ emonstration. Soit q n le polynˆ ome de meilleure approximation uniforme de f ,
de sorte que f − q n = d(f, P n ). Puisque q n ∈ P n , on a L n (q n ) = q n , donc
f − L n (f ) = f − q n − L n (f − q n )
f − L n (f ) ≤ ≤f − q n + L n (f − q n )
≤ ≤f − q n + Λ n f − q n = (1 + Λ n )d(f, P n ).
º¾º × Ó Ù ÐÐ× ÔÓÓÒØ× x i ×ÓÒØ
ÕÙÙÙÙ×ØÒØ×
Posons x i = a + ih, 0 ≤ i ≤ n et x = a + sh, o` u s ∈ [0, n], h =
b−a
n . On a alors
l i (x)
j =i
(x − x j )
(x i − x j )
=
j =i
s − j
i − j
= (−1)
n−i s(s − 1) . . .
(s − i) . . . (s − n)
i!(n − i)!
,
o` u
s − i d´ esigne un facteur omis. On peut d´ emontrer `
a partir de l` a que
Λ n ∼
2
n+1
en ln (n)
.
Nous nous contenterons de d´ emontrer une minoration de Λ n . Pour s =
1
2 , c’est-` adire pour x = a +
h
2 , il vient
|l i (x)| =
1
2 ·
1
2 ·
3
2 . . .
i −
1
2
. . .
n −
1
2
i!(n − i)!
≥
1
4
·
1 · 2 . . .
(i − 1) . . . (n − 1)
i!(n − i)!
≥
1
4n 2
n!
i!(n − i)!
.
On en d´ eduit
Λ n ≥
n
i=0
|l i (x)| ≥
1
4n 2
n
i=0
C
i
n =
1
4n 2 2
n .
Comme Λ n tend vers +∞ assez rapidement, on voit que l’interpolation de Lagrange
en des points ´ equidistants n’est pas une m´ ethode num´ erique tr` es stable : les erreurs
sont fortement amplifi´ ees lorsque n est grand. Comme Λ n tend en g´ en´ eral nettement
plus vite vers +∞ que d(f, P n ) ne tend vers 0 (cf. Th. de Jackson), le th´ eor` eme