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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
º ËØÐÐØ ÒÙÑ ÖÖÕÙÙ Ù ÔÖÓÓ ³³ÒØØÖÔÓÐÐØØÓÒ
ÄÄÖÖÒÒÒ
º½º ÓÒ×ØÒØØ ÄÄÄÄ××ÙÙ ××ÓÓÓ ÙÜ ÔÓÓÒØ× ³³ÒØØÖÔÓÐÐØØÓÒ
Soient x 0 , x 1 , . . . , x n ∈ [a, b] des points 2 `
a 2 distincts. On consid` ere l’op´ erateur
d’interpolation de Lagrange
L n : C([a, b]) −→ P n
f −→ p n .
Dans la pratique, la fonction f ` a interpoler n’est pas connue exactement : on ne
dispose que d’une valeur approch´ ee
f = f +g, o` u g est un terme d’erreur. Au lieu de
calculer p n = L n (f ), on va donc calculer
p n = L n (
f ) = L n (f )+L n (g) = p n +L n (g).
Si g est l’erreur commise sur f , l’erreur sur p n sera donc L n (g). D’un point de vue
num´ erique, il va ˆ etre tr` es important de pouvoir estimer L n (g) en fonction de g.
Rappelons la formule d’interpolation (*) d´ emontr´ ee au § 1.1 : si L n (g) = r n , alors
r n (x) =
n
i=0
g(x i )l i (x).
On a donc
|r n (x)| ≤
n
i=0
|l i (x)|
g.
Th´ eor` eme et d´ efinition – La norme de l’op´ erateur d’interpolation L n est
Λ n = sup
x∈[a,b]
i=0
|l i (x)|
.
Le nombre Λ n est appel´ e constante de Lebesgue associ´ ee ` a x 0 , x 1 , . . . , x n .
D´ emonstration. D’apr` es ce qui pr´ ec` ede, on a L n (g) = r n ≤ Λ n g, donc
|||L n ||| ≤ Λ n . R´ eciproquement, la continuit´ e des l i entraˆ ıne qu’il existe un point
ξ ∈ [a, b] tel que Λ n =
n
i=0
|l i (ξ)|. On peut trouver une fonction g ∈ C([a, b]) affine
par morceaux, telle que g = 1 et g(x i ) = ±1 = signe (l i (ξ)). Alors
L n (g)(ξ) =
n
i=0
|l i (ξ)| = Λ n ,
de sorte que L n (g) ≥ Λ n et |||L n ||| ≥ Λ n .
Intuitivement, la constante Λ n peut s’interpr´ eter comme le facteur d’amplification
de l’erreur dans le proc´ ed´ e d’interpolation de Lagrange. On va voir que Λ n est
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
º ËØÐÐØ ÒÙÑ ÖÖÕÙÙ Ù ÔÖÓÓ ³³ÒØØÖÔÓÐÐØØÓÒ
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º½º ÓÒ×ØÒØØ ÄÄÄÄ××ÙÙ ××ÓÓÓ ÙÜ ÔÓÓÒØ× ³³ÒØØÖÔÓÐÐØØÓÒ
Soient x 0 , x 1 , . . . , x n ∈ [a, b] des points 2 `
a 2 distincts. On consid` ere l’op´ erateur
d’interpolation de Lagrange
L n : C([a, b]) −→ P n
f −→ p n .
Dans la pratique, la fonction f ` a interpoler n’est pas connue exactement : on ne
dispose que d’une valeur approch´ ee
f = f +g, o` u g est un terme d’erreur. Au lieu de
calculer p n = L n (f ), on va donc calculer
p n = L n (
f ) = L n (f )+L n (g) = p n +L n (g).
Si g est l’erreur commise sur f , l’erreur sur p n sera donc L n (g). D’un point de vue
num´ erique, il va ˆ etre tr` es important de pouvoir estimer L n (g) en fonction de g.
Rappelons la formule d’interpolation (*) d´ emontr´ ee au § 1.1 : si L n (g) = r n , alors
r n (x) =
n
i=0
g(x i )l i (x).
On a donc
|r n (x)| ≤
n
i=0
|l i (x)|
g.
Th´ eor` eme et d´ efinition – La norme de l’op´ erateur d’interpolation L n est
Λ n = sup
x∈[a,b]
i=0
|l i (x)|
.
Le nombre Λ n est appel´ e constante de Lebesgue associ´ ee ` a x 0 , x 1 , . . . , x n .
D´ emonstration. D’apr` es ce qui pr´ ec` ede, on a L n (g) = r n ≤ Λ n g, donc
|||L n ||| ≤ Λ n . R´ eciproquement, la continuit´ e des l i entraˆ ıne qu’il existe un point
ξ ∈ [a, b] tel que Λ n =
n
i=0
|l i (ξ)|. On peut trouver une fonction g ∈ C([a, b]) affine
par morceaux, telle que g = 1 et g(x i ) = ±1 = signe (l i (ξ)). Alors
L n (g)(ξ) =
n
i=0
|l i (ξ)| = Λ n ,
de sorte que L n (g) ≥ Λ n et |||L n ||| ≥ Λ n .
Intuitivement, la constante Λ n peut s’interpr´ eter comme le facteur d’amplification
de l’erreur dans le proc´ ed´ e d’interpolation de Lagrange. On va voir que Λ n est