II – Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques
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D´ emonstration. Le cas d’un intervalle [a, b] quelconque se ram` ene facilement au
cas o` u [a, b] = [−1, 1], en utilisant le mˆ eme changement de variable qu’au § 1.5. On
suppose donc f ∈ C([−1, 1]) et on cherche ` a majorer
f − p n−2 [−1,1] = sup
θ∈[0,π]
|f (cos θ) − ϕ n (θ)|.
La propri´ et´ e
J n
θ − k
2π
n
= 1 permet d’´ ecrire
f (cos θ) =
0≤k≤n−1
f (cos θ)J n
θ − k
2π
n
,
d’o` u
f (cos θ) − ϕ n (θ) =
0≤k≤n−1
f (cos θ) − f
cos k
2π
n
J n
θ − k
2π
n
par d´ efinition de ϕ n . La propri´ et´ e (v) du module de continuit´ e avec t =
2
n et
λ =
n
2
cos θ − cos k
2π
n
implique
f (cos θ) − f
cos k
2π
k
≤ ω f (λt)
≤
1 +
n
2
cos θ − cos k
2π
n
ω f
2
n
,
par cons´ equent l’in´ egalit´ e (∗) donne
|f (cos θ) − ϕ n (θ)| ≤


0≤k≤n−1
J n
θ − k
2π
n
1 +
n
2
cos θ − cos k
2π
n

 ω f
2
n
≤
1 +
n
2
·
π
n
ω f
2
n
.
On obtient donc finalement
f − p n−2 ≤
1 +
π
2
ω f
2
n
≤ 3 ω f
2
n
.
Il r´ esulte du th´ eor` eme de Jackson que (p n ) converge uniform´ ement vers f quand
n tend vers +∞. Comme le polynˆ ome de meilleure approximation q n satisfait par
d´ efinition f − q n ≤ ≤f − p n , on en d´ eduit que (q n ) converge uniform´ ement vers
f quand n tend vers +∞. Ceci ´ equivaut `
a l’´ enonc´ e suivant :
Th´ eor` eme de Weierstrass – L’espace P des polynˆ omes est dense dans
C([a, b]) pour la norme uniforme.