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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
En appliquant l’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz |
a k b k | ≤ (
a
2
k )
1/2 (
b
2
k )
1/2 aux
quantit´ es
a k = J n
θ − k
2π
n
1/2
, b k = J n
θ − k
2π
n
1/2
cos θ − cos k
2π
n
,
on en d´ eduit
0≤k≤n−1
J n
θ − k
2π
n
cos θ − cos k
2π
n
≤
J n
θ − k
2π
n
1/2
·
J n
θ − k
2π
n
cos θ − cos k
2π
n
2
1/2
≤
2
J n
θ − k
2π
n
1 − cos
θ − k
2π
n
1/2
≤
2
1 − cos
π
n
1/2
= 2 sin
π
2n
≤
π
n
.
(∗)
Soit maintenant f ∈ C([−1, 1]) une fonction continue quelconque. On lui associe le
polynˆ ome trigonom´ etrique de degr´ e ≤ n − 2
ϕ n (θ) =
0≤k≤n−1
f
cos k
2π
n
J n
θ − k
2π
n
.
En changeant k en n − k pour 1 ≤ k ≤ n − 1, on voit que ϕ n (−θ) = ϕ n (θ),
par cons´ equent ϕ n (θ) est combinaison lin´ eaire des fonctions paires 1, cos θ, . . .,
cos (n − 2)θ. Comme celles-ci sont pr´ ecis´ ement donn´ ees par les polynˆ omes de
Tchebychev t k (cos θ), on voit qu’il existe un polynˆ ome p n−2 de degr´ e ≤ n − 2
tel que ϕ n (θ) = p n−2 (cos θ). Pour des raisons similaires, il existe un polynˆ ome
j n,k (x) de degr´ e ≤ n − 2 tel que
1
2
J n
θ + k
2π
n
+ J n
θ − k
2π
n
= j n,k (cos θ).
En observant que p n−2 (cos θ) =
1
2
ϕ n (θ) + ϕ n (−θ)
et en substituant x = cos θ,
on peut exprimer explicitement le polynˆ ome p n−2 ` a partir des j n,k :
p n−2 (x) =
0≤k≤n−1
f
cos k
2π
n
j n,k (x), ∀x ∈ [−1, 1].
Ce polynˆ ome sera appel´ e polynˆ ome d’approximation de Jackson de degr´ e n−2 de f .
Cela ´ etant, nous avons le :
Th´ eor` eme de Jackson – Pour tout f ∈ C([a, b]), les polynˆ omes d’approximation de Jackson v´ erifient
f − p n ≤ 3 ω f
b − a
n + 2
.