II – Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques
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D´ emonstration. (i) est ´ evident, (ii) r´ esulte du fait que toute fonction continue
sur [a, b] y est uniform´ ement continue.
(iii) Soient x, y ∈ [a, b] quelconques tels que |x − y| ≤ t 1 + t 2 . Il existe alors z ∈ [x, y]
tel que |x − z| ≤ t 1 et |z − y| ≤ t 2 , d’o` u
|f (x) − f (y)| ≤ |f (x) − f (z)| + |f (z) − f (y)| ≤ ω f (t 1 ) + ω f (t 2 ).
L’in´ egalit´ e (iii) s’en d´ eduit en prenant le sup sur x, y.
(iv) se d´ eduit imm´ ediatement de (iii) et (v) s’obtient en appliquant (iv) `
a n =
E(λ) + 1.
Nous allons maintenant introduire les polynˆ omes dits de Jackson, donnant une assez
bonne approximation d’une fonction continue quelconque. Pour tout entier n ≥ 2,
on consid` ere le polynˆ ome trigonom´ etrique J n ≥ 0 de degr´ e n − 2
J n (θ) = c n
1≤k≤n−2
1 − cos
θ −
2k + 1
n
π
o` u c n > 0 est fix´ ee telle que J n
π
n
=
1
2 . En changeant k en n−1−k on voit aussitˆ ot
que J n (−θ) = J n (θ). De plus, pour tout k ∈ Z, on a J n
2k+1
n π
= 0 si k ≡ 0 ou
−1 (mod n), tandis que J n
±
π
n
=
1
2 . Nous avons besoin du lemme suivant.
Lemme – Soit P (θ) =
|j|≤n−1 a j e
ijθ , j ∈ Z, un polynˆ ome trigonom´ etrique de
degr´ e au plus n − 1. Alors
(∀θ ∈ R)
0≤k≤n−1
P
θ − k
2π
n
= na 0 .
En effet
0≤k≤n−1
e
ij(θ−k2π/n) = e
ijθ 1 − e
−ijn2π/n
1 − e −ij2π/n = 0 si j ≡ 0 (mod n), et la somme
vaut n si j = 0.
Comme J n (θ) et J n (θ)(1 − cos θ) sont des polynˆ omes trigonom´ etriques de degr´ e
n − 2 et n − 1 respectivement, on en d´ eduit que
0≤k≤n−1
J n
θ − k
2π
n
= 1,
0≤k≤n−1
J n
θ − k
2π
n
1 − cos
θ − k
2π
n
= 1 − cos
π
n
;
en effet, d’apr` es le lemme, ces sommes sont des constantes et pour θ = −
π
n la
d´ efinition de J n (θ) montre que J n
θ − k
2π
n
= 0 sauf pour k = 0 et k = n − 1,
auquel cas J n
θ − k
2π
n
=
1
2 . Observons de plus que
cos θ − cos k
2π
n
2
=
Re (e
iθ
− e
ik 2π/n )
2
≤
e
iθ
− e
ik 2π/n
2
=
e
i
θ−k 2π/n
− 1
2
= 2
1 − cos
θ − k
2π
n
.
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D´ emonstration. (i) est ´ evident, (ii) r´ esulte du fait que toute fonction continue
sur [a, b] y est uniform´ ement continue.
(iii) Soient x, y ∈ [a, b] quelconques tels que |x − y| ≤ t 1 + t 2 . Il existe alors z ∈ [x, y]
tel que |x − z| ≤ t 1 et |z − y| ≤ t 2 , d’o` u
|f (x) − f (y)| ≤ |f (x) − f (z)| + |f (z) − f (y)| ≤ ω f (t 1 ) + ω f (t 2 ).
L’in´ egalit´ e (iii) s’en d´ eduit en prenant le sup sur x, y.
(iv) se d´ eduit imm´ ediatement de (iii) et (v) s’obtient en appliquant (iv) `
a n =
E(λ) + 1.
Nous allons maintenant introduire les polynˆ omes dits de Jackson, donnant une assez
bonne approximation d’une fonction continue quelconque. Pour tout entier n ≥ 2,
on consid` ere le polynˆ ome trigonom´ etrique J n ≥ 0 de degr´ e n − 2
J n (θ) = c n
1≤k≤n−2
1 − cos
θ −
2k + 1
n
π
o` u c n > 0 est fix´ ee telle que J n
π
n
=
1
2 . En changeant k en n−1−k on voit aussitˆ ot
que J n (−θ) = J n (θ). De plus, pour tout k ∈ Z, on a J n
2k+1
n π
= 0 si k ≡ 0 ou
−1 (mod n), tandis que J n
±
π
n
=
1
2 . Nous avons besoin du lemme suivant.
Lemme – Soit P (θ) =
|j|≤n−1 a j e
ijθ , j ∈ Z, un polynˆ ome trigonom´ etrique de
degr´ e au plus n − 1. Alors
(∀θ ∈ R)
0≤k≤n−1
P
θ − k
2π
n
= na 0 .
En effet
0≤k≤n−1
e
ij(θ−k2π/n) = e
ijθ 1 − e
−ijn2π/n
1 − e −ij2π/n = 0 si j ≡ 0 (mod n), et la somme
vaut n si j = 0.
Comme J n (θ) et J n (θ)(1 − cos θ) sont des polynˆ omes trigonom´ etriques de degr´ e
n − 2 et n − 1 respectivement, on en d´ eduit que
0≤k≤n−1
J n
θ − k
2π
n
= 1,
0≤k≤n−1
J n
θ − k
2π
n
1 − cos
θ − k
2π
n
= 1 − cos
π
n
;
en effet, d’apr` es le lemme, ces sommes sont des constantes et pour θ = −
π
n la
d´ efinition de J n (θ) montre que J n
θ − k
2π
n
= 0 sauf pour k = 0 et k = n − 1,
auquel cas J n
θ − k
2π
n
=
1
2 . Observons de plus que
cos θ − cos k
2π
n
2
=
Re (e
iθ
− e
ik 2π/n )
2
≤
e
iθ
− e
ik 2π/n
2
=
e
i
θ−k 2π/n
− 1
2
= 2
1 − cos
θ − k
2π
n
.