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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
s’annule qu’en x = x i , auquel cas on doit prendre ξ i−1 = x i = ξ i . Dans ce cas
(−1)
i (p(x) − q(x)) reste ≥ 0 sur [x i−1 , x i+1 ] car son signe est positif en x = x i−1 et
x = x i+1 . Ceci entraˆ ıne que ξ i = x i est racine au moins double de p − q, par suite
p − q aurait encore n + 1 racines compte tenu des multiplicit´ es, contradiction.
Observons en outre que d’apr` es la d´ emonstration pr´ ec´ edente, le polynˆ ome de
meilleure approximation uniforme se caract´ erise comme suit :
Caract´ erisation – Pour f ∈ C([a, b]), le polynˆ ome de meilleure approximation
uniforme q n ∈ P n de f est l’unique polynˆ ome de degr´ e ≤ n tel que f − q n ´ equioscille
sur au moins (n + 2) points de [a, b].
Exemple – ´
Ecrivons les polynˆ omes de Tchebychev sous la forme
2
−n t n+1 (x) = x
n+1
− q n (x)
avec q n de degr´ e ≤ n. Comme t n+1 (cos θ) = cos (n + 1)θ ´ equioscille sur les n + 2
points θ i = i
π
n+1 , 0 ≤ i ≤ n+1, on en d´ eduit que q n (x) est le polynˆ ome de meilleure
approximation uniforme `
a l’ordre n de x
n+1 sur [−1, 1]. Autrement dit, 2
−n t n+1
est le polynˆ ome unitaire de degr´ e n + 1 ayant la plus petite norme uniforme possible
sur [−1, 1] : cette norme vaut 2
−n .
¿º¾º Ò××Ø × ÔÓÐÝÒ ÓÑÑ× Ò× C([a, b])
Il est malheureusement tr` es difficile en g´ en´ eral de d´ eterminer le polynˆ ome de
meilleure approximation uniforme q n . C’est pourquoi nous allons ´ etudier ici une
m´ ethode beaucoup plus explicite d’approximation.
D´ efinition – Si f ∈ C([a, b]), le module de continuit´ e de f est la fonction
ω f : R + → R + d´ efinie par
ω f (t) = sup {|f (x) − f (y)| ; x, y ∈ [a, b] avec |x − y| ≤ t}.
Pour tous x, y ∈ [a, b], on a alors
|f (x) − f (y)| ≤ ω f (|x − y|),
de sorte que ω f mesure quantitativement la continuit´ e de f .
Propri´ et´ es du module de continuit´ e
(i) t → ω f (t) est une fonction croissante.
(ii) lim
t→0 +
ω f (t) = 0.
(iii) Pour tous t 1 , t 2 ∈ R + , ω f (t 1 + t 2 ) ≤ ω f (t 1 ) + ω f (t 2 ).
(iv) Pour tout n ∈ N et tout t ∈ R + , ω f (nt) ≤ n ω f (t).
(v) Pour tout λ ∈ R + et tout t ∈ R + , ω f (λt) ≤ (λ + 1)ω f (t).
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
s’annule qu’en x = x i , auquel cas on doit prendre ξ i−1 = x i = ξ i . Dans ce cas
(−1)
i (p(x) − q(x)) reste ≥ 0 sur [x i−1 , x i+1 ] car son signe est positif en x = x i−1 et
x = x i+1 . Ceci entraˆ ıne que ξ i = x i est racine au moins double de p − q, par suite
p − q aurait encore n + 1 racines compte tenu des multiplicit´ es, contradiction.
Observons en outre que d’apr` es la d´ emonstration pr´ ec´ edente, le polynˆ ome de
meilleure approximation uniforme se caract´ erise comme suit :
Caract´ erisation – Pour f ∈ C([a, b]), le polynˆ ome de meilleure approximation
uniforme q n ∈ P n de f est l’unique polynˆ ome de degr´ e ≤ n tel que f − q n ´ equioscille
sur au moins (n + 2) points de [a, b].
Exemple – ´
Ecrivons les polynˆ omes de Tchebychev sous la forme
2
−n t n+1 (x) = x
n+1
− q n (x)
avec q n de degr´ e ≤ n. Comme t n+1 (cos θ) = cos (n + 1)θ ´ equioscille sur les n + 2
points θ i = i
π
n+1 , 0 ≤ i ≤ n+1, on en d´ eduit que q n (x) est le polynˆ ome de meilleure
approximation uniforme `
a l’ordre n de x
n+1 sur [−1, 1]. Autrement dit, 2
−n t n+1
est le polynˆ ome unitaire de degr´ e n + 1 ayant la plus petite norme uniforme possible
sur [−1, 1] : cette norme vaut 2
−n .
¿º¾º Ò××Ø × ÔÓÐÝÒ ÓÑÑ× Ò× C([a, b])
Il est malheureusement tr` es difficile en g´ en´ eral de d´ eterminer le polynˆ ome de
meilleure approximation uniforme q n . C’est pourquoi nous allons ´ etudier ici une
m´ ethode beaucoup plus explicite d’approximation.
D´ efinition – Si f ∈ C([a, b]), le module de continuit´ e de f est la fonction
ω f : R + → R + d´ efinie par
ω f (t) = sup {|f (x) − f (y)| ; x, y ∈ [a, b] avec |x − y| ≤ t}.
Pour tous x, y ∈ [a, b], on a alors
|f (x) − f (y)| ≤ ω f (|x − y|),
de sorte que ω f mesure quantitativement la continuit´ e de f .
Propri´ et´ es du module de continuit´ e
(i) t → ω f (t) est une fonction croissante.
(ii) lim
t→0 +
ω f (t) = 0.
(iii) Pour tous t 1 , t 2 ∈ R + , ω f (t 1 + t 2 ) ≤ ω f (t 1 ) + ω f (t 2 ).
(iv) Pour tout n ∈ N et tout t ∈ R + , ω f (nt) ≤ n ω f (t).
(v) Pour tout λ ∈ R + et tout t ∈ R + , ω f (λt) ≤ (λ + 1)ω f (t).