II – Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques
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[x i−1 , x i ]. Soit c i ∈ [x i−1 , x i ] le plus grand r´ eel de cet intervalle tel que g(c i ) = 0,
de sorte que
a ≤ x 0 < c 1 < x 1 < c 2 < . . . < x k−1 < c k < x k ≤ b.
Supposons par exemple g(x 0 ) > 0 et posons
π(x) = (c 1 − x)(c 2 − x) . . . (c k − x), π ∈ P n ,
g ε (x) = g(x) − επ(x) = f (x) − (p(x) + επ(x)).
On va montrer que g ε < g pour ε > 0 assez petit, ce qui contredira la minimalit´ e
de f − p. Par construction, on a signe(g(x i )) = (−1)
i et
−−g < g(x) ≤ ≤g sur [a, x 0 ],
−−g ≤ (−1)
i g(x) < g sur [x i−1 , c i ]
(si on avait seulement ≤ au lieu de <, alors on aurait x i ≤ c i ),
0 ≤ (−1)
i g(x) ≤ ≤g sur [c i , x i ]
(si on avait une valeur < 0, g(x) s’annulerait sur ]c i , x i [),
−−g < (−1)
k g(x) ≤ ≤g sur [x k , b]
(si on avait seulement ≤ au lieu de <, il y aurait un point x k+1 ).
Il existe donc une constante A < g positive telle que g(x) ≥ −A sur [a, x 0 ],
(−1)
i g(x) ≤ A sur [x i−1 , c i ] et (−1)
k g(x) ≥ −A sur [x k , b]. En notant M =
sup [a,b] |π(x)| et en tenant compte du fait que signe(π(x)) = (−1)
i sur ]c i , c i+1 [, on
obtient donc
−A − εM ≤ g ε (x) < g
sur [a, x 0 ],
−−g < (−1)
i g ε (x) ≤ A + εM sur [x i−1 , c i ],
−εM ≤ (−1)
i g ε (x) < g
sur [c i , x i ],
−A − εM ≤ (−1)
k g ε (x) < g sur [x k , b],
ce qui implique g ε < g d` es que ε est assez petit. Cette contradiction entraˆ ıne
k ≥ n + 1, ce qu’il fallait d´ emontrer.
Pour v´ erifier l’unicit´ e de p, il suffit de montrer que pour tout polynˆ ome q ∈ P n ,
q = p, il existe un point x i avec 0 ≤ i ≤ n + 1 tel que
(−1)
i (f (x i ) − q(x i )) > (−1)
i (f (x i ) − p(x i )) ;
ceci entraˆ ınera en particulier f − q > f − p. Sinon, pour tout i = 0, 1, . . . , n + 1
on aurait
(−1)
i (p(x i ) − q(x i )) ≤ 0.
D’apr` es le th´ eor` eme des valeurs interm´ ediaires, il existerait un point ξ i ∈ [x i , x i+1 ]
tel que p(ξ i ) − q(ξ i ) = 0 pour i = 0, 1, . . . , n. Si les ξ i sont tous distincts, alors p − q
aurait n + 1 racines, donc p = q contrairement `
a l’hypoth` ese. Or, on peut choisir
ξ i−1 < ξ i , sauf si dans l’intervalle [x i−1 , x i+1 ] le polynˆ ome (−1)
i (p(x) − q(x)) ne
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[x i−1 , x i ]. Soit c i ∈ [x i−1 , x i ] le plus grand r´ eel de cet intervalle tel que g(c i ) = 0,
de sorte que
a ≤ x 0 < c 1 < x 1 < c 2 < . . . < x k−1 < c k < x k ≤ b.
Supposons par exemple g(x 0 ) > 0 et posons
π(x) = (c 1 − x)(c 2 − x) . . . (c k − x), π ∈ P n ,
g ε (x) = g(x) − επ(x) = f (x) − (p(x) + επ(x)).
On va montrer que g ε < g pour ε > 0 assez petit, ce qui contredira la minimalit´ e
de f − p. Par construction, on a signe(g(x i )) = (−1)
i et
−−g < g(x) ≤ ≤g sur [a, x 0 ],
−−g ≤ (−1)
i g(x) < g sur [x i−1 , c i ]
(si on avait seulement ≤ au lieu de <, alors on aurait x i ≤ c i ),
0 ≤ (−1)
i g(x) ≤ ≤g sur [c i , x i ]
(si on avait une valeur < 0, g(x) s’annulerait sur ]c i , x i [),
−−g < (−1)
k g(x) ≤ ≤g sur [x k , b]
(si on avait seulement ≤ au lieu de <, il y aurait un point x k+1 ).
Il existe donc une constante A < g positive telle que g(x) ≥ −A sur [a, x 0 ],
(−1)
i g(x) ≤ A sur [x i−1 , c i ] et (−1)
k g(x) ≥ −A sur [x k , b]. En notant M =
sup [a,b] |π(x)| et en tenant compte du fait que signe(π(x)) = (−1)
i sur ]c i , c i+1 [, on
obtient donc
−A − εM ≤ g ε (x) < g
sur [a, x 0 ],
−−g < (−1)
i g ε (x) ≤ A + εM sur [x i−1 , c i ],
−εM ≤ (−1)
i g ε (x) < g
sur [c i , x i ],
−A − εM ≤ (−1)
k g ε (x) < g sur [x k , b],
ce qui implique g ε < g d` es que ε est assez petit. Cette contradiction entraˆ ıne
k ≥ n + 1, ce qu’il fallait d´ emontrer.
Pour v´ erifier l’unicit´ e de p, il suffit de montrer que pour tout polynˆ ome q ∈ P n ,
q = p, il existe un point x i avec 0 ≤ i ≤ n + 1 tel que
(−1)
i (f (x i ) − q(x i )) > (−1)
i (f (x i ) − p(x i )) ;
ceci entraˆ ınera en particulier f − q > f − p. Sinon, pour tout i = 0, 1, . . . , n + 1
on aurait
(−1)
i (p(x i ) − q(x i )) ≤ 0.
D’apr` es le th´ eor` eme des valeurs interm´ ediaires, il existerait un point ξ i ∈ [x i , x i+1 ]
tel que p(ξ i ) − q(ξ i ) = 0 pour i = 0, 1, . . . , n. Si les ξ i sont tous distincts, alors p − q
aurait n + 1 racines, donc p = q contrairement `
a l’hypoth` ese. Or, on peut choisir
ξ i−1 < ξ i , sauf si dans l’intervalle [x i−1 , x i+1 ] le polynˆ ome (−1)
i (p(x) − q(x)) ne