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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Th´ eor` eme et d´ efinition – Pour tout n ∈ N, il existe un unique polynˆ ome
q n ∈ P n qui r´ ealise le minimum de la distance
f − q n = d(f, P n )
Ce polynˆ ome est appel´ ee polynˆ ome de meilleure approximation uniforme de f ` a
l’ordre n.
D´ emontrons d’abord l’existence de q n . En approximant f par p = 0, on voit que
d(f, P n ) ≤ ≤f . L’ensemble des polynˆ omes p ∈ P n tels que f − p ≤ ≤f est
une partie ferm´ ee et born´ ee K ⊂ P n , non vide puisque 0 ∈ K. Comme P n est de
dimension finie, K est une partie compacte, donc la fonction continue p → →f − p
atteint son inf en un point p = q n ∈ K.
Avant de prouver l’unicit´ e, nous introduisons une d´ efinition commode.
D´ efinition – On dit qu’une fonction g ∈ C([a, b]) ´ equioscille sur (k + 1) points
de [a, b] s’il existe des points x 0 < x 1 < . . . < x k dans [a, b] tels que
∀i = 0, 1, . . . , k, |g(x i )| = g et ∀i = 0, 1, . . . , k − 1, g(x i+1 ) = −g(x i ).
a x 0
x 1
x 2
x 3
x 4 b
x
0
y
g
−−g
g
Preuve de l’unicit´ e.* Montrons que si p ∈ P n est un polynˆ ome r´ ealisant le
minimum de la distance f − p, alors g = f − p ´ equioscille sur n + 2 points
de [a, b]. Si ce n’est pas le cas, soit
x 0 = inf {x ∈ [a, b] ; |g(x)| = g}
le premier point en lequel g atteint sa valeur absolue maximum, puis x 1 le premier
point > x 0 en lequel g(x 1 ) = −g(x 0 ), . . . , x i+1 le premier point > x i en lequel
g(x i+1 ) = −g(x i ). Supposons que cette suite s’arrˆ ete en i = k ≤ n. D’apr` es le
th´ eor` eme des valeurs interm´ ediaires, g s’annule n´ ecessairement sur chaque intervalle