II – Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques
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Il existe en effet des indices j, k tels que
δ n (x) = |x − x j,n | =
x −
− 1 + j ·
2
n
,
δ n+1 (x) = |x − x k,n | =
x −
− 1 + k ·
2
n + 1
.
On obtient donc
max (nδ n (x), (n + 1)δ n+1 (x)) ≥
1
2
(nδ n (x) + (n + 1)δ n+1 (x))
≥
1
2
|n(x + 1) − 2j| + |(n + 1)(x + 1) − 2k|
≥
1
2
|diff´ erence| =
1
2
|x + 1 − 2k + 2j|
≥
1
2
distance (x, entiers impairs dans Z)
=
1
2
min(|x − 1|, |x + 1|).
Grˆ ace au lemme, on voit que
max
|f α (x) − p n (x)| , |f α (x) − p n+1 (x)|
≥ C
A(x)
A(iα)
n
,
donc la suite (|f α (x) − p n (x)|) n∈N n’est pas born´ ee si A(x) > A(iα) et ne tend pas
vers 0 si A(x) = A(iα).
Cet exemple montre donc que, mˆ eme pour une fonction f parfaitement r´ eguli` ere,
il ne faut pas s’attendre `
a ce que les polynˆ omes d’interpolation p n aux points
´ equidistants convergent vers f sur l’intervalle d’interpolation.
¿º ÅÅÅÐÐÐÙÖÖ ÔÔÖÓÜÜÑÑØØÓÒ ÙÒÒÒÓÖÑÑ
¿º½º ÜÜ×ØØÒÒÒ Ø ÙÒÒÒÒØ Ù ÔÓÐÝÒ ÓÑÑ ÑÑÑÐÐÐÙÖÖ ÔÔÖÓÜÜÑÑØØÓÒ
On munit l’espace vectoriel C([a, b]) des fonctions continues f : [a, b] → R de la
norme uniforme
f = sup
x∈[a,b]
|f (x)|,
et de la distance uniforme associ´ ee d(f, g) = f − g. On note donc
d(f, P n ) = inf
p∈Pn
f − p.