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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Les calculs du § 2.2 donnent
A(x) =
1
e
(1 + x)
1+x
2 (1 − x)
1−x
2 ,
A(iα) = exp
1
2
1
−1
ln |iα − x|dx
= exp
1
4
1
−1
ln (x
2 + α
2 )dx
= exp
1
2
1
0
ln(x
2 + α
2 )dx
=
1
e
1 + α 2 exp
α Arctg
1
α
,
ln (x
2 + α
2 ) ayant pour primitive x ln (x
2 + α
2 ) − 2x + α Arctg x/α. La fonction
α → A(iα) est strictement croissante sur ]0, +∞[, avec
lim
α→0
A(iα) =
1
e
,
lim
α→+∞
A(iα) = +∞.
La valeur critique est la valeur α 0 telle que
A(iα 0 ) = sup
x∈[−1,1]
A(x) =
2
e
,
soit α 0 0, 526. Pour α > α 0 , la suite (p n ) converge ponctuellement (et mˆ eme
uniform´ ement) vers f α sur [−1, 1]. Pour α < α 0 , on a le sch´ ema suivant :
A(x)
A(iα)
2/e
1/e
−1
0
x 1
y
• Si A(x) < A(iα) (intervalle ouvert hachur´ e), p n (x) converge vers f α (x).
• Si x ∈ ] − 1, 1[ et A(x) ≥ A(iα), la suite (p n (x)) diverge comme on le voit ` a l’aide
du lemme suivant.
Lemme – Pour tout n ∈ N
∗ ,
max (nδ n (x), (n + 1)δ n+1 (x)) ≥
1
2
min(1 + x, 1 − x) > 0.